河北省衡水市安平县2023-2024学年高二上学期12月第三次月考数学试题

试卷更新日期：2024-01-04 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 在直角坐标系 $x O y$ 中，在 $y$ 轴上截距为 $- 1$ 且倾斜角为 $\frac{3 π}{4}$ 的直线方程为（）．

A、 $x + y + 1 = 0$ B、 $x + y - 1 = 0$ C、 $x - y + 1 = 0$ D、 $x - y - 1 = 0$

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2. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3}$ ， $a_{15}$ 是方程 $x^{2} + 6 x + 2 = 0$ 的两根，则 $a_{2} a_{16}$ 的值为（）

A、2 B、-2 C、6 D、-6

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3. 若数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n + 1} + a_{n} = 2^{n}$ ，则 $S_{10} =$ （）

A、684 B、682 C、342 D、341

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4. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n} ， a_{1} = 15 ， a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} = 30 ，$ 则 $S_{n}$ 的最大值为（）

A、60 B、45 C、30 D、15

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5. 如图，在斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，M为BC的中点，N为 $A_{1} C_{1}$ 靠近 $A_{1}$ 的三等分点，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示 $\vec{N M}$ 为（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{6} \vec{b} - \vec{c}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{6} \vec{b} + \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{6} \vec{b} - \vec{c}$ D、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{6} \vec{b} + \vec{c}$

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6. 若圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 12 x + 10 y + 25 = 0$ 上有四个不同的点到直线 $l ： 3 x + 4 y + c = 0$ 的距离为 $3$ ，则 $c$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 17)$ B、 $(- 17 ， 13)$ C、 $(- 13 ， 17)$ D、 $(- 12 ， 18)$

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7. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $S_{11} > 0 ， S_{12} < 0$ ，数列 ${\frac{S_{n}}{a_{n}}} (1 \leq n \leq 11)$ 中最大的项为第（）项．

A、4 B、5 C、6 D、7

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8. 已知点 $F$ 为椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的右焦点，点 $P$ 是椭圆 $C$ 上的动点，点 $Q$ 是圆 $M ： (x + 3)^{2} + y^{2} = 1$ 上的动点，则 $\frac{| P F |}{| P Q |}$ 的最小值是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{9}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{8}{3}$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9. 已知数列 ${a_{n}}$ ，下列结论正确的有（）

A、若 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + n + 1$ ，则 $a_{20} = 211$ B、若 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = 3 a_{n} + 2$ ，则 $a_{4} = 53$ C、若 $S_{n} = 3^{n} + \frac{1}{2}$ ，则数列 ${a_{n}}$ 是等比数列 D、若 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = \frac{2 a_{n}}{2 + a_{n}}$ $(n \in N^{*})$ ，则 $a_{5} = \frac{1}{5}$

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则（）

A、若 ${a_{n}}$ 为递减等比数列，则 ${a_{n}}$ 的公比 $q \in (0 ， 1)$ ． B、“ ${a_{n}}$ 为等差数列”是“ ${\frac{S_{n}}{n}}$ 为等差数列”的充要条件 C、若 ${S_{n}}$ 为等比数列，则 ${a_{n}}$ 可能为等比数列 D、若对于任意的 $p ， q \in N^{*}$ ，数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{p + q} = a_{p} a_{q}$ ，且各项均不为0，则 ${a_{n}}$ 为等比数列

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11. 如图，棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E为线段 $D D_{1}$ 的中点，F为线段 $B B_{1}$ 的中点，P为线段 $C_{1} F$ 内的动点（含端点），则（）

A、 $C_{1} F / /$ 平面 $A B_{1} E$ B、存在点P，使得 $A P ⊥ B_{1} E$ C、平面 $A B_{1} E$ 与底面ABCD所成角的余弦值是 $\frac{2}{3}$ D、三棱锥 $P - A B_{1} E$ 的体积是 $\frac{1}{12}$

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12. 如图拋物线 $Γ_{1}$ 的顶点为 $A$ ，焦点为 $F$ ，准线为 $l_{1}$ ，焦准距为4；抛物线 $Γ_{2}$ 的顶点为 $B$ ，焦点也为 $F$ ，准线为 $l_{2}$ ，焦准距为6． $Γ_{1}$ 和 $Γ_{2}$ 交于 $P$ 、 $Q$ 两点，分别过 $P$ 、 $Q$ 作直线与两准线垂直，垂足分别为M、N、S、T，过 $F$ 的直线与封闭曲线 $A P B Q$ 交于 $C$ 、 $D$ 两点，则（）

A、 $| A B | = 5$ B、四边形 $M N S T$ 的面积为100 C、 $\vec{F S} \cdot \vec{F T} = 0$ D、 $| C D |$ 的取值范围为 $[5 ， \frac{25}{3}]$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 已知 $S_{n}$ 是等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且 $S_{2} = 3$ ， $S_{6} = 5 S_{4} - 12$ ，则 $S_{4} =$ .

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14. 如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $A B = 2$ ， $S D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别为 $S C$ 、 $A B$ 的中点，若线段 $S D$ 上存在点 $G$ ，使得 $G E ⊥ G F$ ，则线段 $S D$ 的长度最小值为.

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15. 已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F (3 ， 0)$ ，过点F的直线交椭圆于A，B两点，若 $M (1 ， - 1)$ 且 $\vec{O A} + \vec{O B} = 2 \vec{O M}$ ，则E的方程为.

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16. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点为 $F_{1} ， F_{2}$ ．点 $P ， Q$ 为 $C$ 上关于坐标原点对称的两点，且 $| P Q | = | F_{1} F_{2} |$ ， $△ P F_{2} Q$ 的面积 $S \geq \frac{1}{8} | P Q | ^{2}$ ，则 $C$ 的离心率的取值范围为．

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四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. 已知圆心为C的圆经过点 $A (- 3 ， 0)$ 和点 $B (1 ， 0)$ 两点，且圆心C在直线 $y = x + 1$ 上．

(1)、求圆C的标准方程；

(2)、已知线段MN的端点M的坐标 $(3 ， 4)$ ，另一端点N在圆C上运动，求线段MN的中点G的轨迹方程．

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18. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A A_{1} C_{1} C$ 是边长为 $4$ 的正方形， $A A_{1} B_{1} B$ 为矩形， $A B = 3 ， B C = 5$ .

(1)、求证： $A A_{1} ⊥$ 平面ABC；

(2)、求平面 $A B C_{1}$ 与平面 $A_{1} C_{1} B$ 所成角的正弦值；

(3)、求点C到平面 $A_{1} C_{1} B$ 的距离.

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19. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = - 1$ ， $S_{n}$ 是 ${a_{n}}$ 的前n项和，且数列 ${\frac{S_{n}}{n}}$ 是公差为 $\frac{1}{2}$ 的等差数列．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = n \cdot 3^{a_{n} + 2}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为正方形， $P A ⊥$ 平面ABCD， $P A = A B = 2$ ， $E$ 为线段PB的中点，F为线段BC上的动点.

(1)、求证：平面 $A E F ⊥$ 平面PBC；

(2)、求平面AEF与平面PDC夹角的余弦的最大值.

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = S_{n} + 1$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{a_{n}}{(S_{n} + 2) (S_{n + 1} + 2)}$ ，数列 ${b_{n}}$ 前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < \frac{1}{6}$ ．

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22. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为 $F (\sqrt{7} ， 0)$ ，渐近线方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} x$ ．

(1)、求双曲线 $C$ 的方程．

(2)、已知双曲线 $C$ 的左、右顶点分别为 $A$ ， $B$ ，直线 $y = k x + m$ 与双曲线 $C$ 的左、右支分别交于点 $M$ ， $N$ （异于点 $A$ ， $B$ ）．设直线 $A M$ ， $B N$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，若点 $(m ， \sqrt{3} k)$ 在双曲线 $C$ 上，证明 $k_{1} k_{2}$ 为定值，并求出该定值．

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