广东省云浮市重点中学校2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题

试卷更新日期：2024-01-04 类型：月考试卷

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一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 双曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的离心率为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{4}{5}$

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2. 倾斜角为120°的直线经过点 $(2 ， \sqrt{3})$ 和 $(3 ， a)$ ，则a =（）

A、0 B、2 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

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3. 已知 $\vec{a} = (x ， 1 ， - 2) ， \vec{b} = (2 ， y ， 1)$ ，且 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $x y =$ （）

A、 $- \frac{9}{2}$ B、2 C、 $- 2$ D、8

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4. 如图，在空间四边形 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，点 $M$ 满足 $\vec{O M} = 2 \vec{M A}$ ，点 $N$ 为 $B C$ 的中点，则 $\vec{M N} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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5. 若两异面直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的方向向量分别是 $\vec{n_{1}} = (1 ， 0 ， - 1)$ ， $\vec{n_{2}} = (0 ， - 1 ， 1)$ ，则直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的夹角为（）

A、30° B、60° C、120° D、150°

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6. 已知点 $M$ 到点 $F (3 ， 0)$ 的距离与到直线 $x + 3 = 0$ 相等，且点 $M$ 的纵坐标为12，则 $| M F |$ 的值为（）

A、6 B、9 C、12 D、15

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7. 设M为椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 上的一个点， $F_{1} ， F_{2}$ 为焦点， $∠ F_{1} M F_{2} = 6 0^{°}$ ，则 $△ M F_{1} F_{2}$ 的面积为（）

A、3 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $3 \sqrt{3}$

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8. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (4 ， 0) ， B (1 ， 0) ， C (- 1 ， 0) ， D (0 ， 1)$ ，若点 $P$ 满足 $| P A | = 2 | P B |$ ，则 $| P C | + \frac{1}{2} | P D |$ 的最小值为（）.

A、 $2$ B、 $\frac{\sqrt{15}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{17}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2} + 1$

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二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 已知空间中三点 $A (0 ， 1 ， 0)$ ， $B (2 ， 2 ， 0)$ ， $C (- 1 ， 3 ， 1)$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $\vec{A B}$ 与 $\vec{A C}$ 是共线向量 B、与 $\vec{A B}$ 同向的单位向量是 $(\frac{2 \sqrt{5}}{5} ， \frac{\sqrt{5}}{5} ， 0)$ C、 $\vec{A B}$ 与 $\vec{B C}$ 夹角的余弦值是 $\frac{\sqrt{55}}{11}$ D、平面 $A B C$ 的一个法向量是 $(1 ， - 2 ， 5)$

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10. 以下关于圆 $C$ ： $(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 16$ 的命题不正确的有（）

A、点 $(0 ， 1)$ 在圆 $C$ 内 B、直线 $3 x + 4 y - 14 = 0$ 与圆 $C$ 相切 C、点 $(2 ， 5)$ 在圆 $C$ 上 D、直线 $x + y + 8 = 0$ 与圆 $C$ 相切

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11. 已知直线 $l_{1} ： a x + 2 y + 3 a = 0$ 和直线 $l_{2} ： 3 x + (a - 1) y + 7 - a = 0$ ，下列说法正确的是（）

A、当 $a = \frac{2}{5}$ 时， $l_{1} ⊥ l_{2}$ B、当 $a = - 2$ 时， $l_{1}$ $∥$ $l_{2}$ C、直线 $l_{1}$ 过定点 $(- 3 ， 0)$ ，直线 $l_{2}$ 过定点 $(- 2 ， 1)$ D、当 $l_{1} ， l_{2}$ 平行时，两直线的距离为 $\frac{5}{13} \sqrt{13}$

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12. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点P在C上，且 $| P F_{1} |$ 的最大值为3，最小值为1，则（）

A、椭圆C的离心率为 $\frac{1}{2}$ B、 $△ P F_{2} F_{1}$ 的周长为4 C、若 $∠ F_{2} P F_{1} = 60 °$ ，则 $△ P F_{2} F_{1}$ 的面积为 $\sqrt{3}$ D、若 $| P F_{1} | | P F_{2} | = 4$ ，则 $∠ F_{2} P F_{1} = 60 °$

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三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）

13. 设抛物线 $y = 4 x^{2}$ 上一点M到焦点的距离为1，则点M的坐标为.

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14. 点A(4，5)关于直线l的对称点为B(－2，7)，则l的方程为

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15. 已知点 $A (1 ， 1 ， 1)$ ，直线 $l$ 过原点 $O$ ，且平行于向量 $(1 ， 0 ， 2)$ ，则点 $A$ 到直线 $l$ 的距离是.

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16. 已知圆心为 $(a ， 0)$ 的圆C与倾斜角为 $\frac{5 π}{6}$ 的直线相切于点 $N (3 ， - \sqrt{3})$ ，则圆C的方程为

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四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 已知 $△ A B C$ 的三个顶点分别为 $A (2 ， 4) ， B (1 ， 1) ， C (7 ， 3)$ .

(1)、求 $B C$ 边所在直线的方程；

(2)、求 $B C$ 边上的高所在直线的方程.

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18. 已知空间三点 $A (- 2 ， 0 ， 2)$ ， $B (- 1 ， 1 ， 2)$ ， $C (- 3 ， 0 ， 4)$ ，设 $\vec{a} = \vec{A B}$ ， $\vec{b} = \vec{A C}$ ．

(1)、求 $c o s 〈 \vec{a} ， \vec{b} 〉$ ；

(2)、 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $k \vec{a} - 2 \vec{b}$ 互相垂直，求实数 $k$ 的值．

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19. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的焦距为6，且虚轴长是实轴长的 $\sqrt{2}$ 倍.

(1)、求双曲线的方程；

(2)、过双曲线的右焦点F且倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 的直线l与双曲线交于A，B两点，求 $| A B |$ .

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20. 平面内动点 $M$ 到点 $F (2 ， 0)$ 的距离与 $M$ 到直线 $x = \frac{9}{2}$ 的距离之比为 $\frac{2}{3}$ ．

(1)、求动点 $M$ 的轨迹 $C$ 的方程；

(2)、过点 $F$ 的直线 $l$ 交轨迹 $C$ 于不同两点 $A$ 、 $B$ ，交 $y$ 轴于点 $N$ ，已知 $\vec{N A} = λ_{1} \vec{A F}$ ， $\vec{N B} = λ_{2} \vec{B F}$ ，试问 $λ_{1} + λ_{2}$ 是否等于定值，并说明理由．

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21. 如图，四边形ABCD是边长为2的菱形， $∠ B A D = 60 °$ ，将 $△ C B D$ 沿BD折起到 $△ P B D$ 的位置，使 $P A = \sqrt{6}$ ．

(1)、求证：平面 $P B D ⊥$ 平面ABD；

(2)、求直线 $A B$ 与平面 $P A D$ 所成角的正弦值．

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22. 设椭圆 $M$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率与双曲线 $x^{2} - y^{2} = 1$ 的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4．

(1)、求椭圆 $M$ 的方程；

(2)、若直线 $x = \sqrt{2} y + m$ 交椭圆 $M$ 于 $A$ ， $B$ 两点， $P (\sqrt{2} ， 1)$ 为椭圆 $M$ 上一点，求 $△ P A B$ 面积的最大值．

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