浙江省湖州市安吉县2023-2024学年高一上学期12月统一检测数学试题

试卷更新日期：2024-01-04 类型：月考试卷

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合 $A = {x | - 1 < x < 2}$ ， $B = {x | 1 < x < 3}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、 ${x | 1 < x < 2}$ B、 ${x | - 1 < x < 3}$ C、 ${x | - 1 < x < 1}$ D、 ${x | 2 < x < 3}$

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2. 命题“ $\exists x > 2$ ， $x^{2} - x - 2 > 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \leq 2$ ， $x^{2} - x - 2 \leq 0$ B、 $\forall x \leq 2$ ， $x^{2} - x - 2 \leq 0$ C、 $\forall x > 2$ ， $x^{2} - x - 2 \leq 0$ D、 $\exists x > 2$ ， $x^{2} - x - 2 \leq 0$

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3. “函数 $f (x)$ 在区间 $[a ， b]$ 上单调递增”是“函数 $f (x)$ 在区间 $[a ， b]$ 上有最大值”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - m - 1) x^{m - 1}$ 为偶函数，且在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减，则实数 $m$ 的值（）

A、2 B、 $- 1$ C、2或 $- 1$ D、不存在

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5. 已知 $a = l o g_{2} \frac{1}{3}$ ， $b = 2^{- 0.3}$ ， $c = l o g_{3} 4$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $a < c < b$ D、 $b < c < a$

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6. 已知函数 $f (x) = - x + 2$ ， $g (x) = x^{2}$ ，用 $m (x)$ 表示 $f (x)$ ， $g (x)$ 中较小者，记为 $m (x) = m i n {f (x) ， g (x)}$ ．当 $x \in [- 4 ， \frac{3}{2}]$ 时，函数 $m (x)$ 的值域为（）

A、 $[\frac{1}{2} ， 6]$ B、 $[\frac{9}{4} ， 6]$ C、 $[0 ， 4]$ D、 $[0 ， 6]$

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7. 为了保证杭州亚运会运动员能够吃上新鲜食材，亚运会后勤采购部门决定从千岛湖某水产站直接采购新鲜活鱼．活鱼出水后，须在最短时间内将其处理掉，否则会失去新鲜度．已知某种活鱼失去新鲜度 $p$ 与其出水时间 $t$ （分）满足函数关系： $p = m a^{t}$ ．若出水后20分钟失去新鲜度为10%，出水后40分钟失去新鲜度为30%．若不及时处理，在多长时间后失去全部新鲜度?（参考数据： $l g 3 \approx 0.48$ ）（）

A、52 B、59 C、62 D、69

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8. 已知对 $\forall x \in R$ ，不等式 $(a x^{2} + b x + c) (2^{| x - 1 |} - 4) \leq 0$ 恒成立，则不等式 $c x^{2} + b x + a > 0$ 的解集为（）

A、 $(- \frac{1}{3} ， 1)$ B、 $(- \infty ， - \frac{1}{3}) ∪ (1 ， + \infty)$ C、 $(- 1 ， \frac{1}{3})$ D、 $(- \infty ， - 1) ∪ (\frac{1}{3} ， + \infty)$

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二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知 $a$ ， $b \in R$ ，下列结论正确的是（）

A、若 $a > b > 0$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ B、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$ C、若 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ ，则 $a < b$ D、若 $a < b < 0$ ，则 $a^{2} > a b > b^{2}$

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10. 下列对应关系 $f$ ： $A \to B$ 是集合 $A$ 到集合 $B$ 的函数关系的是（）

A、 $A = {x | - 2 \leq x \leq 2}$ ， $B = {1}$ ， $f$ ： $x \to y$ ， $y = 1$ B、 $A = R$ ， $B = {y | y > 0}$ ， $f$ ： $x \to y$ ， $y = x^{2}$ C、 $A = Z$ ， $B = Z$ ， $f$ ： $x \to y$ ， $y = | x |$ D、 $A = {x | x > 0}$ ， $B = R$ ， $f$ ： $x \to y$ ， $y^{2} = x$

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | l n x | ， x > 0 \\ - x^{2} - 2 x ， x \leq 0 \end{array}$ ，若关于 $x$ 的方程 $f (x) - a = 0$ 有 $k (k \in N)$ 个不同实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $⋯$ ， $x_{k}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < ⋯ < x_{k}$ ，则下列判断正确的是（）

A、当 $k = 1$ 时， $a < 0$ B、当 $k = 2$ 时， $x_{1} x_{2} = 1$ C、当 $k = 3$ 时， $a = 1$ D、当 $k = 4$ 时， $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} > 0$

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12. 已知函数 $f (x) = 2^{x} + x - 4$ ， $g (x) = l o g_{2} x + x - 4$ 的零点分别是 $a$ ， $b$ ，则下列不等式正确的是（）

A、 $a > b$ B、 $a b < 4$ C、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} > 1$ D、 $\sqrt{a} + \sqrt{b} > 2 \sqrt{2}$

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三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 计算 $l g \sqrt[3]{100} =$ ．

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14. 已知 $f (x)$ 为奇函数，当 $x < 0$ 时， $f (x) = x^{2} - x + 1$ ，则 $f (1) =$ ．

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15. 若不计空气阻力，竖直上抛的物体距离抛出点的高度 $h$ 与时间 $t$ 满足关系式： $h = v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2}$ ，其中 $g$ 取 $10 m / s^{2}$ ．已知一名同学以初速度8m/s竖直上抛一排球，排球能够在抛出点3m以上的位置停留秒时间．

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16. 已知函数 $f (x) = | x - a | + 2 a$ 在 $[1 ， 3]$ 上的最大值为4，则实数 $a$ 的值为．

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四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程．

17. 已知集合 $A = {2 ， 4 ， 2 a^{2}}$ ， $B = {2 ， a + 3}$ ．

(1)、若 $a = 0$ ，全集 $U = {x \in N | x \leq 5}$ ，求 $C_{U} (A ∪ B)$ ；

(2)、若 $A ∩ B = B$ ，求实数 $a$ 的值．

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18. 已知函数 $f (x) = a^{x} + b (a > 0 且 a \neq 1)$ 的图象经过点 $(0 ， - 2)$ ， $(2 ， 1)$ ．

(1)、求实数 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、若不等式 $a^{8 - x^{2}} \geq {(\frac{1}{4})}^{x}$ 的解集记为 $A$ ，求 $x \in A$ 时，函数 $f (x)$ 的值域．

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19. 已知函数 $f (x) = x + \frac{a}{x}$ ，且 $f (2) = 0$ ．

(1)、判断函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上的单调性，并用定义证明；

(2)、解不等式 $f (t^{2} + 3) + f (- 2 t^{2} + t - 1) > 0$ ．

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20. 喷绘在商业广告、宣传等领域应用广泛，喷绘画面是使用喷绘机打印出来的．喷绘机工作时相当于一条直线（喷嘴）连续扫过一张画布，一家广告公司在一个等腰△AOB的画布上使用喷绘机印刷广告，画布底角 $∠ A O B = 30 °$ ，底边 $O A = 4$ 米，如图所示，记△AOB位于直线 $x = t (0 < t \leq 4)$ 左侧的图形面积为 $f (t)$ ．

(1)、试求函数 $f (t)$ 的解析式；

(2)、定义 $g (t) = \frac{f (t)}{t}$ 为“平均喷绘率”，求平均喷绘率的峰值（即最大值）．

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} - 1}{2^{x} + 1}$ ， $g (x) = \frac{3}{2^{x}}$ ，

(1)、若 $a > 0$ ，记函数 $f (x)$ 在 $[- a ， a]$ 上最大值为 $M$ ，最小值为 $m$ ，求 $M + m$ ；

(2)、若存在实数 $x_{1}$ ， $x_{2} \in [- 2 ， + \infty)$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，使得 $f (x)$ 在 $[x_{1} ， x_{2}]$ 上的值域为 $[k g (x_{1}) ， k g (x_{2})]$ ，求实数 $k$ 的取值范围．

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22. 我们知道，函数 $y = f (x)$ 的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a ， b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数．

(1)、求函数 $f (x) = - x^{3} + 3 x^{2}$ 图象的对称中心；

(2)、若函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a ， b)$ 对称，证明： $f (x) + f (2 a - x) = 2 b$ ；

(3)、已知函数 $f (x) = x - \frac{e^{2}}{2} + l n \frac{e^{c} x}{e^{2} - x}$ ，其中 $c > 0$ ．若正数 $a$ ， $b$ 满足 $f (\frac{e^{2}}{2023}) + f (\frac{2 e^{2}}{2023}) + f (\frac{3 e^{2}}{2023}) + ⋯ + f (\frac{2022 e^{2}}{2023}) \leq 1011 (a + b)$ ，且不等 $λ (a + 2 c) b \leq 2 a c + a^{2} + 2 b^{2}$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围．

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