四川省绵阳市南山名校2023-2024学年高三上学期12月月考数学（理）试题

试卷更新日期：2024-01-04 类型：月考试卷

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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 复数 $\frac{5}{i - 2}$ 的共轭复数是（）

A、 $2 + i$ B、 $- 2 + i$ C、 $- 2 - i$ D、 $2 - i$

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2. 已知集合 $A = {x | 0 < x < 2}$ ， $B = {x | 4 x^{2} - 4 x - 15 < 0}$ ，则（）

A、 $\exists x \in A$ ， $x \notin B$ B、 $\forall x \in B$ ， $x ∈ A$ C、 $\exists x \in B$ ， $x ∈ A$ D、 $\forall x \in A$ ， $x \notin B$

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3. 若 $\vec{a} ， \vec{b}$ 是夹角为 $6 0^{°}$ 的两个单位向量， $λ \vec{a} + \vec{b}$ 与 $- 3 \vec{a} + 2 \vec{b}$ 垂直，则 $λ =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{7}{8}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、 $\frac{7}{4}$

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4. 若 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - y + 2 \geq 0 \\ 2 x + y + 1 \geq 0 \\ x \leq 2 \end{array}$ ，则 $x^{2} + (y + 1)^{2}$ 的最大值为（）

A、25 B、27 C、29 D、30

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5. 函数 $f (x) = | 4^{x} - 1 | \cdot 2^{- x} \cdot s i n (\frac{π}{2} + x)$ 的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知点 $F (0 ， 4)$ 是抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点，点 $P (2 ， 3)$ ，且点 $M$ 为抛物线 $C$ 上任意一点，则 $| M F | + | M P |$ 的最小值为（）

A、7 B、6 C、5 D、4

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7. 已知 ${(a x + \frac{1}{x})}^{4}$ 的展开式中常数项为24，则 $a$ 的值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $\pm 2$

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8. 七辆汽车排成一纵队，要求甲车、乙车、丙车均不排队头或队尾且各不相邻，则排法有（）

A、48种 B、72种 C、90种 D、144种

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9. 已知函数 $f (x) = s i n 2 x + a c o s 2 x$ ，将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后，得到 $g (x)$ 的图象.若 $g (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{4}$ 对称，则 $f (π) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $- \sqrt{3}$

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10. 已知圆 $C ：$ $x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y - 1 = 0$ ， $A B$ 是圆 $C$ 上的一条动弦，且 $| A B | = 4 \sqrt{2}$ ， $O$ 为坐标原点，则 $| \vec{O A} + \vec{O B} |$ 的最小值为（）

A、 $4 \sqrt{2} - 2$ B、 $2 \sqrt{2} - 1$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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11. 双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的一条渐近线过点 $P (- 1 ， \sqrt{3})$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是C的左右焦点，且 $| P F_{1} | = 2$ ，若双曲线上一点M满足 $| M F_{1} | = \frac{5}{2}$ ，则 $| M F_{2} | =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ 或 $\frac{9}{2}$ B、 $\frac{9}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{7}{2}$

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12. 若实数a，b， $c \in (0 ， 1)$ ，且满足 $a e^{0.8} = 0.8 e^{a}$ ， $b e^{1.2} = 1.2 e^{b}$ ， $c e^{1.6} = 1.6 e^{c}$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A、c>b>a B、b>a>c C、a>b>c D、b>c>a

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二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 函数 $f (x) = 2 x e^{x}$ 的图象在 $x = 0$ 处的切线方程为

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14. 已知 ${a_{n}}$ 是各项均不相同的等差数列， ${b_{n}}$ 是公比为q的等比数列，且 $a_{1} + b_{1} = a_{2} + b_{2} = a_{4} + b_{4}$ ，则 $q =$ ．

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15. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点与抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 重合，且与该抛物线在第一象限交于点 $M$ ，若 $F M ⊥ x$ 轴，则椭圆C的离心率为．

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16. 人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术.在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.设 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2})$ ，则曼哈顿距离 $d (A ， B) = | x_{1} - x_{2} | + | y_{1} - y_{2} |$ ，余弦距离 $e (A ， B) = 1 - c o s (A ， B)$ ，其中 $c o s (A ， B) = c o s ⟨ \vec{O A} ， \vec{O B} ⟩$ （O为坐标原点）.已知点 $M (2 ， 1) ， d (M ， N) = 1$ ，则 $e (M ， N)$ 的最大值近似等于.（保留3位小数）（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41 ， \sqrt{5} \approx 2.24$ .）

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三、解答题（一）:必考题：60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题.

17. 已知单调递增数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n}^{2} + n = 2 S_{n}$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $l o g_{3} b_{n} = a_{n}$ ，求数列 ${\frac{a_{n}}{b_{n}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， $t a n B = \frac{c o s C - 2 c o s A}{s i n C}$ ， $a < b$ ．

(1)、求角B；

(2)、若 $a = 3$ ， $b = 7$ ， D为AC边的中点，求 $△ B C D$ 的面积．

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19. 2023年上海书展于8月16日至22日在上海展览中心举办.展会上随机抽取了50名观众，调查他们每个月用在阅读上的时长，得到如图所示的频率分布直方图：

(1)、求x的值，并估计这50名观众每个月阅读时长的平均数；

(2)、用分层抽样的方法从 $[20 ， 40) ， [80 ， 100)$ 这两组观众中随机抽取6名观众，再若从这6名观众中随机抽取2人参加抽奖活动，求所抽取的2人恰好都在 $[80 ， 100)$ 这组的概率.

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20. 设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右顶点分别为 $A_{1} ， A_{2}$ ，左右焦点 $F_{1} ， F_{2}$ .已知 $| A_{1} F_{2} | = 3$ ， $| A_{2} F_{2} | = 1$ .

(1)、求椭圆方程.

(2)、若斜率为1的直线 $l$ 交椭圆于A，B两点，与以 $F_{1} ， F_{2}$ 为直径的圆交于C，D两点.若 $| A B | = \frac{12 \sqrt{2}}{7} | C D |$ ，求直线 $l$ 的方程.

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{x} + a l n x (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = 4$ 时，求 $f (x)$ 的零点个数；

(2)、若 $f (x + 1) + e^{x} - \frac{1}{x + 1} \geq 1$ 恒成立，求实数a的值．

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四、解答题（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.

22. [选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线l的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + \frac{1}{2} t \\ y = 2 + \frac{\sqrt{3}}{2} t \end{array}$ （t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $ρ = 2 s i n θ$ ．

(1)、求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；

(2)、若曲线C和直线l相交于M，N两点，Q为MN的中点，点 $P (1 ， 2)$ ，求 $| P Q |$ ．

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23. [选修4-5：不等式选讲]
已知函数 $f (x) = m - | x - 2 | ， m \in$ R，且 $f (x + 2) \geq 0$ 的解集为[-1，1].

(1)、求m的值；

(2)、若 $a ， b ， c \in (0 ， + \infty)$ ，且 $\frac{1}{a} + \frac{1}{2 b} + \frac{1}{3 c} = m$ ，求证： $a + 2 b + 3 c \geq 9$

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