四川省达州市宣汉县2023-2024学年高一上学期12月第二次月考数学试题

试卷更新日期：2024-01-04 类型：月考试卷

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一、单项选择题．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．

1. 已知集合 $A = {- 2 ， - 1 ， 1 ， 2} ， B = {x ∣ \frac{1}{1 - x} \geq 0}$ ，则 $A \cap^{} B =$ （）

A、 ${1 ， 2}$ B、 ${- 2 ， - 1}$ C、 ${- 1 ， 1 ， 2}$ D、 ${- 2 ， - 1 ， 1}$

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2. 命题“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 1 < 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 1 \geq 0$ B、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 1 > 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 1 \geq 0$ D、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 1 < 0$

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3. 函数 $f (x) = 2^{x} + x - 2$ 的零点所在区间是（）

A、 $(- 2 ， - 1)$ B、 $(- 1 ， 0)$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(1 ， 2)$

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4. 设 $a = 0 . 6^{0.3} ， b = 0 . 3^{0.6} ， c = 0 . 3^{0.3}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $b < a < c$ B、 $a < c < b$ C、 $b < c < a$ D、 $c < b < a$

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5. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} l o g_{2} (x^{2} + a) (x < 0) \\ - 3^{x - 1} (x \geq 0) \end{array}$ ，若 $f [f (2)] = 1$ ，则 $a =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 7$ C、1 D、5

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6. 已知符号函数 $s g n (x) = {\begin{array}{l} 1 ， x > 0 \\ 0 ， x = 0 \\ - 1 ， x < 0 \end{array}$ ，则 $s g n (a) = s g n (b)$ 是 $a b > 0$ 的（）

A、充分条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 从这个商标中抽象画出一个函数图象如图所示，其对应的函数可能是（）

A、 $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$ B、 $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$ C、 $f (x) = \frac{1}{| x - 1 |}$ D、 $f (x) = \frac{1}{| | x | - 1 |}$

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8. 菜农采摘蔬菜，采摘下来的蔬菜会慢慢失去新鲜度. 已知某种蔬菜失去的新鲜度 $h$ 与其采摘后时间 $t$ (小时)满足的函数关系式为 $h = {m·a}^{t}$ . 若采摘后 20 小时，这种蔬菜失去的新鲜度为 $20 %$ ，采摘后 30 小时，这种蔬菜失去的新鲜度为 $40 %$ .那么采摘下来的这种蔬菜在多长时间后失去 $50 %$ 新鲜度(参考数据 $l g 2 \approx 0.3$ ，结果取整数（）

A、23 小时 B、33 小时 C、50 小时 D、56 小时

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（）

A、 $y = - x + 1$ B、 $y = - x^{3}$ C、 $y = \frac{1}{x}$ D、 $y = - x | x |$

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10. 若 $a > 0 ， b > 0$ ，且 $a b = 4 a + b + 5$ ，则 $a b$ 的取值可能是（）

A、10 B、23 C、25 D、28

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11. 已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为 ${x ∣ - 1 < x < 3}$ ，则（）

A、函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 有最大值 B、 $5 a + \sqrt{5} b + c > 0$ C、 $6 b = - 5 c$ D、 $b x^{2} + a | x | - c > 0$ 的解集为 $(- ∞ ， - \frac{3}{2}) \cup^{} (\frac{3}{2} ， + ∞)$

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12. 已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) = - f (x)$ ，且当 $x \in (2 ， 3)$ 时， $f (x) = | 2 x - 5 |$ 则下列结论正确的有（）

A、 $f (x) = f (x + 2)$ B、函数 $f (x)$ 在区间 $(- 1 ， 0)$ 上单调递增 C、 $f (2021.2) = - 0.6$ D、关于 $x$ 方程 $2 f (| x | + 1) = | l o g_{2} | x | |$ 有 8 个实数解

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 函数 $f (x) = \sqrt{3 - x} + \ln (x - 1)$ 的定义域是．

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14. 函数 $f (x) = ln (\frac{2 x}{1 + x} + a)$ 为奇函数，则实数 $a =$ .

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15. 下列函数 $f (x)$ ，满足对定义域内的任意 $x$ ，都有 $f (x + 2) + f (x) < 2 f (x + 1)$ 成立的有.
① $f (x) = 2 x + 1$ ； ② $f (x) = - x^{2} - 2 x$ ；
③ $f (x) = e^{x}$ ； ④ $f (x) = l n x$

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16. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + x - 3$ ，若对任意的 $x_{1} ， x_{2} \in [1 ， + ∞)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ， $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 3$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.

(1)、 $3^{l o g_{9} 4} + {(l g 5)}^{2} + l g 2 \times l g 5 + l g 2$ ；

(2)、 $2 l o g_{5} 2 + l o g_{5} \frac{5}{4} + l n \sqrt{e} + 3^{\frac{1}{2}} \times \sqrt{\frac{3}{4}} \times 2^{1 - l o g_{2} 3} - 2 π^{0}$ .

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18. 已知集合 $A = {x ∣ 2 a \leq x \leq a + 3} ， B = {x ∣ x < - 2$ 或 $x > 6}$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求 $(∁_{R} A) \cap^{} B$ ；

(2)、若 “ $x \in A$ ” 是 “ $x \in B$ ” 的充分条件，求 $a$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 x + 2$

(1)、求 $f (x)$ 在 $[0 ， 4]$ 上的值域；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[t ， t + 2]$ 上的最大值 $g (t)$ 的最小值.

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20. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} (a x^{2} - 4 a x + 3)$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) \leq l o g_{2} 3$ 的解集；

(2)、若 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，求 $a$ 的取值范围.

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21. 实行垃圾分类，关系生态环境，关系节约使用资源. 某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于 2019 年年初用 98 万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用. 该设备使用后，每年的总收入为 50 万元. 若该设备使用 $x$ 年，则其所需维修保养费用 $x$ 年来的总和为 $(2 x^{2} + 10 x)$ 万元 $(2019$ 年为第一年)，设该设备产生的盈利总额(纯利润)为 $y$ 万元.

(1)、写出 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；求该机床从第几年开始全年盈利(盈利总额为正值)；

(2)、使用若干年后，对设备的处理方案有两种：
①当年平均盈利额达到最大值时，以 30 万元价格处理该设备； (年平均盈利额 $= \frac{盈利总额}{使用年数})$
②当盈利总额达到最大值时，以 12 万元价格处理该设备. 试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{1 - 2^{x}}{2^{x + 1} + k} (k$ 为常数 $)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $x \in [- 2 ， 2]$ ，求函数 $f (x)$ 的值域；

(3)、若 $g (x) = f (x + 1) + 1$ ，且函数 $g (x)$ 满足对任意 $x \in [1 ， 3]$ ，都有 $g (a x^{2} + 2) - g (3 x) > 2$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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