上海市闵行区重点中学2023-2024学年高三上学期12月月考数学试卷

试卷更新日期：2024-01-04 类型：月考试卷

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一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）

1. 已知集合 $A = {x | x < 1}$ ， $B = {- 1 ， 0 ， 2}$ ，则 $\bar{A} \cap B =$

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2. 已知 $1 + \sqrt{3} i$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + p x + q = 0 (p ， q \in R)$ 的一个根，则 $q =$

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3. 已知曲线 $f (x) = 2 x^{2} + 1$ 在点 $M (x_{0} ， y_{0})$ 处的瞬时变化率为 $- 8$ ，则点 $M$ 的坐标为

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4. 不等式 $| x | + | 2023 - x | < 2023$ 的解集为

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5. 在 $△ A B C$ 中，内角A ， B ， C的对边分别是a ， b ， c ，若 $a^{2} - b^{2} = 3 b c$ ， $s i n C = 2 s i n B$ ，则 $A =$

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6. 已知 ${(x^{3} + \frac{2}{x^{2}})}^{n}$ 的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为

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7. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = {\begin{array}{l} a_{n} + 1 ， n 为奇数 \\ a_{n} + 2 ， n 为偶数 \end{array}$ ，则 ${a_{n}}$ 的前10项和 $S_{10} =$

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8. 圆锥曲线的光学性质应用非常广泛，如图所示，从双曲线右焦点 $F_{2}$ 发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点 $F_{1}$ ．已知双曲线的离心率 $e = 5$ ，则当入射光线 $F_{2} P$ 和反射光线PE互相垂直时（其中 $P$ 为入射点） $∠ F_{1} F_{2} P =$ ．

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9. 若方程 $\sqrt{x^{2} + 1} = a (x - 1)$ 恰有两个不同的实数根，则实数 $a$ 的取值范围是

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10. 已知函数 $y = f (x)$ 的定义域为 ${a ， b ， c}$ ，值域为 ${- 1 ， 0 ， 1}$ 的子集，则满足 $f (a) + f (b) + f (c) = 0$ 的函数 $y = f (x)$ 的个数为

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11. 已知平面向量 $\vec{a} = (5 ， 0)$ ， $\vec{b} = (\frac{3}{5} ， \frac{4}{5})$ ，常数 $k \in R$ ．向量 $\vec{c} = λ \cdot \vec{a} + (1 - λ) \cdot \vec{b} (λ \in R)$ ，且对任意 $λ \in R$ ，总有 $| \vec{c} + k \vec{a} | \geq 2 \sqrt{5}$ 成立，则实数 $k$ 的取值范围是

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12. 已知函数 $y = m x + 2 m$ 与函数 $y = 2^{x + 2} - 2^{- 2 - x}$ 的图像交于点M、N、P ，此三点中最远的两点间距离为 $\sqrt{13}$ ，则实数 $m =$

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二、单选题（本大题共4题，满分20分）

13. 设 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的函数，且“ $\forall x > 0$ ， $f (x) > 0$ ”为假命题，则下列命题为真的是（）

A、 $\forall x > 0$ ， $f (x) \leq 0$ B、 $\exists x \leq 0$ ， $f (x) > 0$ C、 $\exists x > 0$ ， $f (x) \leq 0$ D、 $\forall x \leq 0$ ， $f (x) \leq 0$

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14. 一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件 $A$ 为“第一次向下的数字为2或3”，事件 $B$ 为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（）

A、 $P (A) = \frac{1}{4}$ B、 $P (A \cup B) = \frac{1}{2}$ C、事件 $A$ 与事件 $B$ 相互独立 D、事件 $A$ 与事件 $B$ 互斥

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} + a_{n + 4} = a_{n + 1} + a_{n + 3}$ ，那么（）是等差数列

A、 ${a_{n}}$ B、 ${a_{2 n - 1}}$ C、 ${a_{2 n}}$ D、 ${a_{3 n}}$

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16. 对于圆 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2} (r > 0)$ 上任意一点 $P (x ， y)$ ，当 $m \neq n$ 时， $| x - 2 y + m | + | x - 2 y + n |$ 的值与 $x$ ， $y$ 无关，有下列结论：
①点 $(a ， b)$ 的轨迹是一个圆；                ②点 $(a ， b)$ 的轨迹是一条直线；
③当 $| m - n | = 4$ 时， $r$ 有最大值 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ；        ④当 $r = \sqrt{5}$ ， $m = 1$ 时， $n \in [11 ， + \infty)$ ．
其中正确的个数是（    ）

A、1 B、2 C、3 D、4

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三、解答题（本大题共有5题，满分76分）

17. 圆柱的轴截面ABCD是正方形， $E$ 是底面圆周上一点，DC与AE成 $60 °$ 角， $A B = 2$ ．

(1)、求直线AC与平面BCE所成角的正弦值；

(2)、求点B到平面AEC的距离．

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18. 已知 $ω > 0$ ，向量 $\vec{m} = (c o s ω x ， s i n ω x)$ ， $\vec{n} = (c o s ω x ， \sqrt{3} c o s ω x)$ ，且 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n}$ ．

(1)、若函数 $y = f (x)$ 的最小正周期是 $2 π$ ，求 $y = f (x)$ 的单调增区间；

(2)、已知 $0 < ω < 2$ ，若 $x = \frac{π}{6}$ 是函数 $y = f (x)$ 的图像的一条对称轴，求 $y = f (x)$ 的周期和值域．

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19. 甲、乙两人同时分别入职 $A$ ， $B$ 两家公司，两家公司的基础工资标准分别为： $A$ 公司第一年月基础工资数为3700元，以后每年月基础工资比上一年月基础工资增加300元； $B$ 公司第一年月基础工资数为4000元，以后每年月基础工资都是上一年的月基础工资的1.05倍．

(1)、分别求甲、乙两人工作满10年的基础工资收入总量；（精确到1元）

(2)、设甲、乙两人入职第 $n$ 年的月基础工资分别为 $a_{n}$ 、 $b_{n}$ 元，记 $c_{n} = a_{n} - b_{n}$ ，讨论数列 ${c_{n}}$ 的单调性，指出哪年起到哪年止相同年份甲的月基础工资高于乙的月基础工资，并说明理由．

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20. 如图，已知椭圆 $Γ ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $A (- 2 ， 0)$ 点为其左顶点．过 $A$ 的直线 $l$ 交抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 于B、C两点， $C$ 是AB的中点．

(1)、求椭圆 $Γ$ 的方程；

(2)、求证：点 $C$ 的横坐标是定值，并求出该定值；

(3)、若直线 $m$ 过 $C$ 点，其倾斜角和直线 $l$ 的倾斜角互补，且交椭圆于M ， N两点，求 $p$ 的值，使得 $△ B M N$ 的面积最大．

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21. 记 $y = f' (x)$ ， $y = g' (x)$ 分别为函数 $y = f (x)$ ， $y = g (x)$ 的导函数．若存在 $x_{0} \in R$ ，满足 $f (x_{0}) = g (x_{0})$ 且 $f' (x_{0}) = g' (x_{0})$ ，则称 $x_{0}$ 为函数 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 的一个“ $S$ 点”．

(1)、证明：函数 $y = x$ 与 $y = x^{2} + 2 x - 2$ 不存在“ $S$ 点”；

(2)、若函数 $y = a x^{2} - 1$ 与 $y = l n x$ 存在“ $S$ 点”，求实数 $a$ 的值；

(3)、已知 $f (x) = - x^{2} + a$ ， $g (x) = \frac{b e^{x}}{x}$ ．若存在实数 $a > 0$ ，使函数 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 内存在“ $S$ 点”，求实数 $b$ 的取值范围．

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