广西壮族自治区“贵百河”2023-2024学年高二上学期12月联考试题数学

试卷更新日期：2024-01-04 类型：月考试卷

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一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合 $A = {x | - 2 < x < 4} ， B = {3 ， 4 ， 5}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、{2} B、{4，5} C、{3，4} D、{2，3}

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2. 已知复数z满足 $z (1 - i) = 3 + i$ ，则复数z的虚部为（）

A、 $- 2 i$ B、 $2 i$ C、 $- 2$ D、2

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3. 双曲线 $2 x^{2} - y^{2} = 8$ 的渐近线方程是（）

A、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ B、 $y = \pm 2 x$ C、 $y = \pm \sqrt{2} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$

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4. 已知三棱锥 $O - A B C$ 中，点M，N分别为AB，OC的中点，且 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，则 $\vec{N M} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} (\vec{b} + \vec{c} - \vec{a})$ B、 $\frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$ C、 $\frac{1}{2} (\vec{a} - \vec{b} + \vec{c})$ D、 $\frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b} - \vec{c})$

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5. 在棱长为 $a$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，向量 $\vec{B A_{1}}$ 与向量 $\vec{A C}$ 所成的角为（）

A、60° B、150° C、90° D、120°

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6. 已知命题p：方程 $\frac{x^{2}}{5 - m} + \frac{y^{2}}{m - 1} = 1$ 表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆，则使命题 $p$ 成立的充分不必要条件是（）

A、 $3 < m < 5$ B、 $4 < m < 5$ C、 $1 < m < 5$ D、 $m > 1$

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7. 国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量 $N (m g / L)$ 与时间的关系 $N = N_{0} e^{- k t}$ （ $N_{0}$ 为最初污染物数量）．如果前3个小时消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%还要（）

A、2.6小时 B、3小时 C、6小时 D、4小时

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8. 若曲线 $C$ 上存在点 $M$ ，使 $M$ 到平面内两点 $A (- 5 ， 0)$ ， $B (5 ， 0)$ 距离之差的绝对值为8，则称曲线 $C$ 为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是（）

A、 $x + y = 5$ B、 $x^{2} + y^{2} = 9$ C、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ D、 $x^{2} = 16 y$

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二、多选题：共4小题，每小题5分，共20分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．

9. 对于抛物线 $x^{2} = 8 y$ ，下列描述正确的是（）

A、开口向上，焦点为 $(0 ， 2)$ B、焦点到准线的距离为4 C、开口向上，焦点为 $(0 ， \frac{1}{16})$ D、准线方程为 $y = - 4$

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10. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} s i n 2 x + \frac{\sqrt{3}}{2} c o s 2 x$ ，则（）

A、函数f（x）的最小正周期为 $π$ B、将函数f（x）的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位后的图象关于y轴对称 C、函数f（x）的一个对称中心为 $(\frac{π}{6} ， 0)$ D、函数f（x）在区间 $(\frac{π}{6} ， \frac{π}{2})$ 上单调递减

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11. 为了考查某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为（）

A、9 B、10 C、11 D、12

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12. 已知 $a = l o g_{3} e ，$ $b = l o g_{2} 3$ ， $c = l n 3$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $a + c > b$ D、 $a + c < b$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 若两条直线 $a x + 2 y - 1 = 0$ 与 $3 x - 6 y - 1 = 0$ 互相垂直，则a的值为.

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14. 圆心为 $(- 1 ， 0)$ ，且过点 $(1 ， 1)$ 的圆的方程是．

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15. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 作 $x$ 轴的垂线，交椭圆于点 $P$ ，若直线 $P F_{1}$ 的斜率为 $\frac{3}{4}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为．

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16. 已知函数 $f (x)$ 定义域为 $(0 ， + \infty)$ ， $f (1) = e$ ，对任意的 $x_{1} ， x_{2} \in (0 ， + \infty)$ ，当 $x_{2} > x_{1}$ 时，有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} x_{2}} > \frac{e^{x_{2}}}{x_{1}} - \frac{e^{x_{1}}}{x_{2}}$ （e是自然对数的底）.若 $f (l n a) > 2 e - a l n a$ ，则实数a的取值范围是.

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四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = A D = 2 ， E$ 为 $P B$ 的中点， $F$ 为 $A C$ 与 $B D$ 的交点．

(1)、证明： $E F$ //平面 $P C D$ ；

(2)、求三棱锥 $E - A B F$ 的体积．

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18. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 $(b - c)^{2} = a^{2} - b c$ ．

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $a = 2 ， s i n C = 2 s i n B$ ，求△ABC的面积．

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19. 已知直线 $l ： x - a y - 2 = 0 ， a \in R$ ．

(1)、求证：直线 $l$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 恒有公共点；

(2)、若直线 $l$ 与圆心为 $C$ 的圆 $(x - a)^{2} + (y - 1)^{2} = 4$ 相交于 $A 、 B$ 两点，且 $△ A B C$ 为直角三角形，求 $a$ 的值．

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20. 甲、乙两人玩一个摸球猜猜的游戏，规则如下：一个袋子中有4个大小和质地完全相同的小球，其中2个红球，2个白球，甲采取不放回方式从中依次随机地取出2个球，然后让乙猜．若乙猜出的结果与摸出的2个球特征相符，则乙获胜，否则甲获胜，一轮游戏结束，然后进行下一轮（每轮游戏都由甲摸球）．乙所要猜的方案从以下两种猜法中选择一种；
猜法一：猜“第二次取出的球是红球”；
猜法二：猜“两次取出球的颜色不同”．请回答：

(1)、如果你是乙，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜法，并说明理由；

(2)、假定每轮游戏结果相互独立，规定有人首先获胜两次则为游戏获胜方，且整个游戏停止．若乙按照（1）中的选择猜法进行游戏，求乙获得游戏胜利的概率．

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21. 如图，已知点 $F_{1} (- 1 ， 0)$ ，圆 $F_{2} ： (x - 1)^{2} + y^{2} = 16$ ，点 $Q$ 在圆 $F_{2}$ 上运动， $Q F_{1}$ 的垂直平分线交 $Q F_{2}$ 于点 $P$ .

(1)、求动点 $P$ 的轨迹 $C$ 的方程；

(2)、直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $M ､ N$ 两点，且 $M N$ 中点为 $(1 ， 1)$ ，求直线 $l$ 的方程及 $△ F_{1} M N$ 的面积.

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22. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $△ P A C$ 是正三角形， $A C ⊥ B C$ ， $A C = B C = 2$ ， D是AB的中点．

(1)、证明： $A C ⊥ P D$ ；

(2)、若二面角 $P - A C - D$ 为 $150 °$ ，求直线BC与平面PAB所成角的正弦值．

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