吉林省四平市2023-2024学年高二上学期12月第二次月考数学试卷

试卷更新日期：2024-01-04 类型：月考试卷

进入出卷网下载

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 两条平行直线 $2 x - y + 3 = 0$ 和 $a x - 3 y + 6 = 0$ 间的距离为 $d$ ，则 $a ， d$ 的值分别为（）

A、 $a = 6 ， d = \frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $a = 6 ， d = \frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $a = - 6 ， d = \frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $a = - 6 ， d = \frac{\sqrt{6}}{3}$

查看试题解析
2. 若圆 $x^{2} + y^{2} + 4 x - 12 y + 1 = 0$ 关于直线 $x - b y + 6 = 0$ 对称，则 $b =$ （）

A、0 B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、 $\frac{2}{3}$

查看试题解析
3. 由0，1，2，…，9这十个数组成无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的个数为（）

A、180 B、196 C、210 D、224

查看试题解析
4. 设 $A ， B$ 是一个随机试验中的两个事件，且 $P (B) = \frac{1}{3} ， P (\bar{B} | A) = \frac{5}{6} ， P (\bar{B} | \bar{A}) = \frac{1}{2}$ ，则（）

A、 $P (A) = \frac{1}{3}$ B、 $P (A B) = \frac{1}{6}$ C、 $P (A + B) = \frac{3}{4}$ D、 $P (\bar{A} | B) = \frac{1}{4}$

查看试题解析
5. $(3 x - y) {(2 x + y)}^{5}$ 的展开式中， $x^{3} y^{3}$ 的系数为（）

A、200 B、40 C、120 D、80

查看试题解析
6. 若曲线 $C$ 上存在点 $M$ ，使 $M$ 到平面内两点 $A (- 5 ， 0) ， B (5 ， 0)$ 距离之差的绝对值为8，则称曲线 $C$ 为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是（）

A、 $x + y = 5$ B、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ C、 $x^{2} + y^{2} = 16$ D、 $x^{2} = 16 y$

查看试题解析
7. 初中时代我们就说反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图像是双曲线，建立适当的平面直角坐标系可以求得这个双曲线的标准方程，比如，把 $y = \frac{1}{x}$ 的图象顺时针旋转 $\frac{π}{4}$ 可以得到双曲线 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ ．已知函数 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x + \frac{2 \sqrt{3}}{x}$ ，在适当的平面直角坐标系中，其标准方程可能是（）

A、 $\frac{x^{2}}{12} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{14} - \frac{y^{2}}{\frac{14}{3}} = 1$ C、 $\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{12} = 1$ D、 $\frac{y^{2}}{14} - \frac{x^{2}}{14} = 1$

查看试题解析
8. 已知椭圆 $Γ ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 内有一定点 $P (1 ， 1)$ ，过点 $P$ 的两条直线 $l_{1} ， l_{2}$ 分别与椭圆 $Γ$ 交于 $A 、 C$ 和 $B 、 D$ 两点，且满足 $\vec{A P} = λ \vec{P C} ， \vec{B P} = λ \vec{P D}$ ，若 $λ$ 变化时，直线 $C D$ 的斜率总为 $- \frac{1}{4}$ ，则椭圆 $Γ$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

查看试题解析

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9. 下列说法正确的是（）

A、直线 $\sqrt{3} x + 3 y - 3 = 0$ 的倾斜角为 $150 °$ B、若直线 $A x + B y + C = 0$ 经过第三象限，则 $A B > 0 ， B C < 0$ C、 $a = 0$ 是直线 $2 x + a y - 2 = 0$ 与直线 $a x + 2 y - 1 = 0$ 垂直的必要不充分条件 D、存在 $a$ 使得直线 $x + (1 + a) y = 2 - a$ 与直线 $2 a x + 4 y = - 16$ 平行

查看试题解析
10. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（）

A、某学生从中选2门课程学习，共有15种选法 B、课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法 C、课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144种排法 D、课程“礼”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480种排法

查看试题解析
11. 点 $P$ 是直线 $y = 3$ 上的一个动点，过点 $P$ 作圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 的两条切线， $A ， B$ 为切点，则（）

A、存在点 $P$ ，使得 $∠ A P B = 90 °$ B、弦长 $A B$ 的最小值为 $\frac{4 \sqrt{5}}{3}$ C、点 $A ， B$ 在以 $O P$ 为直径的圆上 D、线段 $A B$ 经过一个定点

查看试题解析
12. 在圆锥 $P O$ 中，已知高 $P O = 2$ ，底面圆的半径为 $4 ， M$ 为母线 $P B$ 的中点，根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个结论正确的有（）

A、圆的面积为 $4 π$ B、椭圆的长轴长为 $\sqrt{37}$ C、双曲线两渐近线的夹角正切值为 $\frac{4}{3}$ D、抛物线的焦点到准线的距离为 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$

查看试题解析

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知 $A (2 ， 0) ， B (0 ， 2)$ ，若直线 $y = k (x + 2)$ 与线段 $A B$ 有公共点，则 $k$ 的取值范围是．

查看试题解析
14. 在素质教育要求下，各地高中陆陆续续开展选课走班活动，已知某高中提供3门选修课供该校学生选择，现有某班5名同学参加选课活动，要求这5名同学每人选修一门课程且每门课程都有学生选，则这5名同学选课的种数为．

查看试题解析
15. 流感病毒分为甲、乙、丙三型，甲型流感病毒最容易发生变异，流感大流行就是甲型流感病毒出现新亚型或旧亚型重现引起的．根据以往的临床记录，某种诊断甲型流感病毒的试验具有如下的效果：若以 $A$ 表示事件“试验反应为阳性”，以 $C$ 表示事件“被诊断者患有甲型流感”，则有 $P (A | C) = 0.9 ， P (\bar{A} | \bar{C}) = 0.9$ ．现对自然人群进行普查，设被试验的人患有甲型流感的概率为0.005，即 $P (C) = 0.005$ ，则 $P (C | A) =$ ．

查看试题解析
16. 抛物线的光学性质是：位于抛物线焦点处的点光源发出的每一束光经抛物线反射后的反射线都与抛物线的对称轴平行．已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，直线 $l ： y = 5$ ，点P，Q分别是C，l上的动点，若Q在某个位置时，P仅存在唯一的位置使得 $| P F | = | P Q |$ ，则满足条件的所有 $| P Q |$ 的值为．

查看试题解析

四、解答题：本题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知 $O$ 为坐标原点， $A (- 1 ， 2)$ ，过点 $A$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与 $x$ 轴负半轴及 $y$ 轴正半轴分别交于点 $B 、 C$ ．

(1)、求 $| A B | \cdot | A C |$ 的最小值；

(2)、若 $△ O B C$ 的面积为 $S$ ，且对于每一个 $S$ 的值满足条件的 $k$ 值只有2个，求 $S$ 的取值范围．

查看试题解析
18. 已知半径小于6的圆 $C$ 过点 $A (8 ， 1)$ ，且圆 $C$ 与两坐标轴均相切．

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若圆 $C$ 与直线 $l ： x - y + m = 0$ 交于 $A ， B$ 两点，_▲_，求 $m$ 的值．
从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①： $∠ A C B = 120 °$ ；条件②： $| A B | = 5 \sqrt{3}$ ．
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．

查看试题解析
19. 在二项式 ${(\sqrt{x} + \frac{1}{2 \sqrt[4]{x}})}^{n}$ 的展开式中，前三项的系数依次为 $M ， P ， N$ ，且满足 $2 P = M + N$ ．

(1)、若直线 $l ： a x + b y + c = 0$ 的系数 $a ， b ， c (a > b > c)$ 为展开式中所有无理项系数，求不同直线 $l$ 的条数；

(2)、求展开式中系数最大的项．

查看试题解析
20. 现有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有8个红球和2个白球乙袋中有4个红球和6个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验．若多次试验直到摸出红球，则试验结束．假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、求首次试验结束的概率；

(2)、在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率进行调整．
①求选到的袋子为甲袋的概率；
②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大．

查看试题解析
21. 已知双曲线 $C ： x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，直线 $l$ 交双曲线于 $A ， B$ 两点．

(1)、求双曲线 $C$ 的虚轴长与离心率；

(2)、若 $l$ 过原点， $P$ 为双曲线上异于 $A ， B$ 的一点，且直线 $P A 、 P B$ 的斜率 $k_{P A} 、 k_{P B}$ 均存在，求证： $k_{P A} \cdot k_{P B}$ 为定值：

(3)、若 $l$ 过双曲线的右焦点 $F_{2}$ ，是否存在 $x$ 轴上的点 $M (m ， 0)$ ，使得直线 $l$ 绕点 $F_{2}$ 无论怎么转动，都有 $\vec{M A} \cdot \vec{M B} = 0$ 成立？若存在，求出 $M$ 的坐标：若不存在．请说明理由．

查看试题解析
22. 在平面直角坐标系中，椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，焦距为2．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、动直线 $l ： y = m x - \frac{\sqrt{5}}{2}$ 交椭圆于A、B两点，D是椭圆C上一点，直线OD的斜率为 $n$ ，且 $m n = \frac{1}{2}$ ． T是线段OD延长线上一点，且 $| D T | = \frac{2 \sqrt{21}}{15} | A B |$ ， $⊙ T$ 的半径为 $| D T |$ ， OP，OQ是 $⊙ T$ 的两条切线，切点分别为P，Q，求 $∠ Q O P$ 的最大值．

查看试题解析