吉林省四平市2023-2024学年高一上学期12月第二次月考数学试题

试卷更新日期：2024-01-04 类型：月考试卷

进入出卷网下载

一、单项选择题（本题共8小题，每题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. “ $A ∩ B = B$ ”是“ $B = \emptyset$ ”的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
2. 已知函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 2 x - 3}$ ，则该函数的单调递增区间为（）

A、 $(- \infty ， 1]$ B、 $[3 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 1]$ D、 $[1 ， + \infty)$

查看试题解析
3. 已知扇形面积为 $\frac{3 π}{8}$ ，半径是1，则扇形的圆心角是( )

A、 $\frac{3 π}{16}$ B、 $\frac{3 π}{8}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{3 π}{2}$

查看试题解析
4. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数 $f (x) = \frac{3 x}{1 - x^{2}}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
5. 已知 $a > 0 ， b > 0$ ，且满足 $a b = a + b$ ，则 $a + b$ 的最小值是（）

A、2 B、4 C、3 D、6

查看试题解析
6. 若 $y = f (x)$ 是奇函数，且函数 $F (x) = a f (x) + b x + 2$ 在 $(0 ， + \infty)$ 有最大值8，则函数 $y = F (x)$ 在 $(- \infty ， 0)$ 有（）

A、最小值 $- 4$ B、最大值 $- 8$ C、最小值 $- 8$ D、最小值 $- 6$

查看试题解析
7. 已知函数 $f (x) = x - \frac{1}{x}$ ，若 $a = f (l o g_{2} 6) ， b = - f (l o g_{2} \frac{2}{9}) ， c = f (3^{0.5})$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

查看试题解析
8. 已知函数 $f (x) = 2^{x} + x$ ， $g (x) = \log_{2} x + x$ ， $h (x) = x^{2} + \log_{2} x$ 的零点分别为a，b，c，下列各式正确的是（）

A、 $a + b > 0$ B、 $2^{a} + \log_{2} b > 0$ C、 $b > c$ D、 $2^{a} > c^{2}$

查看试题解析

二、多项选择题（本题共4小题，每题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 下列说法正确的是（）

A、所有幂函数的图象均过点 $(0 ， 0)$ B、若幂函数的图象经过点 $(\frac{1}{8} ， 2)$ ，则解析式为 $y = x^{- \frac{1}{3}}$ C、幂函数一定具有奇偶性 D、任何幂函数的图象都不经过第四象限

查看试题解析
10. 下列四个结论中，正确的是（）

A、角 $α$ 和角 $β$ 的终边重合，则 $α - β = k \times 360 ° ， k \in Z$ B、角 $α$ 和角 $β$ 的终边关于原点对称，则 $α + β = k \times 360 ° + 180 ° ， k \in Z$ C、角 $α$ 和角 $β$ 的终边关于 $x$ 轴对称，则 $α + β = k \times 360 ° ， k \in Z$ D、角 $α$ 和角 $β$ 的终边关于 $y$ 轴对称，则 $α + β = k \times 360 ° + 180 ° ， k \in Z$

查看试题解析
11. 已知偶函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，对任意两个不相等的正数 $x_{1} ， x_{2}$ ，都有 $\frac{x_{2} f (x_{1}) - x_{1} f (x_{2})}{x_{2} - x_{1}} > 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\frac{2}{3} f (3) > f (- 2)$ B、 $4 f (\frac{1}{2}) > f (2)$ C、 $f (- 1) < 3 f (- \frac{1}{3})$ D、 $2 f (3) > f (- 6)$

查看试题解析
12. 定义 $m i n {a ， b} = {\begin{array}{l} a ， a \leq b \\ b ， a > b \end{array}$ ，若函数 $f (x) = m i n {x^{2} - 3 x + 3 ， - | x - 3 | + 3}$ ，且 $f (x)$ 在区间 $[m ， n]$ 上的值域为 $[\frac{3}{4} ， \frac{7}{4}]$ ，则区间 $[m ， n]$ 长度可以是（）

A、 $\frac{7}{4}$ B、 $\frac{7}{2}$ C、 $\frac{11}{4}$ D、1

查看试题解析

三、填空题（本题共4小题，每题5分，共计20分）

13. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $[- 2 ， 2]$ ，则函数 $g (x) = f (2 x) + \sqrt{1 - 2^{x}}$ 的定义域为．

查看试题解析
14. 已知命题 $p ： \exists x \in R ， m x^{2} + 1 \leq 0$ ；命题 $q ： \forall x \in R ， x^{2} + m x + 1 > 0$ ．若 $p ， q$ 都是假命题，则实数 $m$ 的取值范围是．

查看试题解析
15. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设 $x \in R ， [x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则 $y = [x]$ 称为高斯函数，例如： $[- 2.1] = - 3$ ， $[3.1] = 3$ ，已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} - 3}{1 + 2^{x + 1}}$ ，则函数 $y = [f (x)]$ 的值域为．

查看试题解析
16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} - 2 x ， x \leq 0 \\ | l o g_{2} x | ， x > 0 \end{array}$ ，若 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，且 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3}) = f (x_{4})$ ，给出下列结论：① $x_{1} + x_{2} = - 1$ ， ② $x_{3} x_{4} = 1$ ， ③ $0 < x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} < \frac{1}{2}$ ， ④ $0 < x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} < 1$ ，其中所有正确命题的编号是．

查看试题解析

四、解答题（本题共6小题，共计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.

(1)、求值 ${(- \frac{27}{8})}^{- \frac{2}{3}} + {(0.002)}^{- \frac{1}{2}} - 10 {(\sqrt{5} - 2)}^{- 1} + {(\sqrt{2} - \sqrt{3})}^{0}$ ；

(2)、已知 $a ， b ， c$ 为正实数， $a^{x} = b^{y} = c^{z} ， \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0$ ，求 $a b c$ 的值．

查看试题解析
18. 已知集合 $P = {x \in R | x^{2} - 3 x + b = 0} ， Q = {x \in R | (x + 1) (x^{2} + 3 x - 4) = 0}$ ．

(1)、若 $b = 4$ ，存在集合 $M$ 使得 $P ⊊ M ⊊ Q$ ，求这样的集合 $M$ ；

(2)、若集合 $P$ 是集合 $Q$ 的一个子集，求 $b$ 的取值范围．

查看试题解析
19. 定义：对于定义域为 $D$ 的函数 $f (x)$ ，若 $\exists x_{0} \in D$ ，有 $f (x_{0}) = x_{0}$ ，则称 $x_{0}$ 为 $f (x)$ 的不动点．已知函数 $f (x) = a x^{2} + (b - 1) x + b - 8 ， a \neq 0$ ．

(1)、当 $a = 1 ， b = 0$ 时，求函数 $f (x)$ 的不动点；

(2)、设 $a \in (1 ， 3)$ ，若 $f (x)$ 有两个不动点为 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $x_{1} f (x_{2}) = \frac{a}{a - 1}$ ，求实数 $b$ 的最小值．

查看试题解析
20. “凤眼蓝”是一种花朵为浅蓝色的浮水草本植物，它是我国园林水景中的常用造景材料，并且适宜在污染严重的水中生长，是监测环境污染的良好植物．某市2019年底为了净化某水库的水质，引入“凤眼蓝”，这些“凤眼蓝”在水中蔓延速度越来越快，2020年1月底“凤眼蓝”覆盖面积为 $16 m^{2}$ ，到了4月底测得“凤眼蓝”覆盖面积为 $54 m^{2}$ ， “凤眼蓝”覆盖面积 $y$ （单位： $m^{2}$ ）与月份 $x$ （单位：月）的关系有两个函数模型 $y = k a^{x}$ （ $k > 0$ 且 $a > 1$ ）与 $y = m x^{2} + n (m > 0)$ 可供选择．

(1)、分别求出两个函数模型的解析式；

(2)、经测得2020年5月底“凤眼蓝”的覆盖面积约为 $80 m^{2}$ ，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，并求“凤眼蓝”覆盖面积达到 $640 m^{2}$ 时的最小月份．（参考数据： $l g 2 \approx 0.30 ， l g 3 \approx 0.48$ ）

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} \frac{x}{8} \cdot l o g_{2} (2 x)$ ，函数 $g (x) = 4^{x} - 2^{x + 1} - 3$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的值域；

(2)、若不等式 $f (x) - g (a) \leq 0$ 对任意实数 $a \in [\frac{1}{2} ， 2]$ 恒成立，求实数 $x$ 的取值范围．

查看试题解析
22. 设函数 $f (x) = k a^{x} - a^{- x} (a > 1)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数．

(1)、求 $k$ 的值，并判断 $f (x)$ 的单调性（不需证明）；

(2)、求不等式 $f (2 x - 1) + f (x - 5) > 0$ 的解集；

(3)、若 $f (1) = \frac{3}{2}$ ，且 $g (x) = a^{2 x} + a^{- 2 x} - 2 m f (x)$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上的最小值为 $- 2$ ，求 $m$ 的值．

查看试题解析