吉林省辽源市辽源田中2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题

试卷更新日期：2024-01-04 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知向量 $\vec{a} = (- 3 ， 2 ， 7)$ ， $\vec{b} = (1 ， x ， - 1)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x$ 的值为（）

A、4 B、-4 C、5 D、-5

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2. 数列0， $\frac{2}{3}$ ， $\frac{4}{5}$ ， $\frac{6}{7}$ ， …的一个通项公式为（）

A、 $a_{n} = \frac{2 (n - 1)}{2 n - 1} (n \in N^{*})$ B、 $a_{n} = \frac{n - 1}{2 n + 1} (n \in N^{*})$ C、 $a_{n} = \frac{n - 1}{n + 2} (n \in N^{*})$ D、 $a_{n} = \frac{2 n}{2 n + 1} (n \in N^{*})$

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3. 已知直线 $l_{1}$ ： $2 x - a y + 1 = 0$ 和 $l_{2}$ ： $(a - 1) x - y + a = 0$ 平行，则实数 $a =$ （）

A、2或 $- 1$ B、1 C、 $- 1$ D、2

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4. 点 $(5 ， 0)$ 到双曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的一条渐近线的距离为（）

A、4 B、3 C、5 D、 $\frac{9}{4}$

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5. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{2} ， a_{n + 1} = \frac{1 + a_{n}}{1 - a_{n}} (n \in N^{*})$ ，则 $a_{2023} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $3$ C、 $- 2$ D、 $- \frac{1}{3}$

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6. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ ， $N$ ， $P$ 分别为棱 $A D$ ， $C C_{1}$ ， $A_{1} D_{1}$ 的中点，则 $B_{1} P$ 与 $M N$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{30}}{10}$ B、 $- \frac{1}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{70}}{10}$ D、 $\frac{1}{5}$

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7. 双曲线 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线方程是 $y = 2 x$ ，则E的离心率是（）

A、5 B、 $\sqrt{5}$ C、2 D、 $\sqrt{2}$

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8. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} + 2 m x - 2 y + 5 m - 3 = 0$ ，直线 $l ： x + y - 1 = 0$ .若直线 $l$ 与圆 $C$ 相交所得的弦长为8，则 $m =$ （）

A、 $- 2$ 或2 B、 $- 1$ 或12 C、 $- 2$ 或12 D、 $- 2$ 或1

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二、多选题

9. 已知数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = n^{2} - 8 n - 4$ ，则-19是该数列中的第几项的是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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10. 下面四个结论正确的是（）

A、向量 $\vec{a} ， \vec{b} (\vec{a} \neq 0 ， \vec{b} \neq 0)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ B、若空间四个点 $P$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ ， $\vec{P C} = \frac{1}{4} \vec{P A} + \frac{3}{4} \vec{P B}$ ，则 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点共线 C、已知向量 $\vec{a} = (1 ， 1 ， x)$ ， $\vec{b} = (- 2 ， x ， 4)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $x = - 2$ D、任意向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$

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11. 已知直线 $l_{1} ： 4 x - 3 y + 3 = 0$ ， $l_{2} ： 4 (m + 2) x - (m + 1) y + m = 0 (m \in R)$ 则（）

A、直线 $l_{2}$ 过定点 $(1 ， 2)$ B、当 $m = 2$ 时， $l_{1} / / l_{2}$ C、当 $m = - 1$ 时， $l_{1} ⊥ l_{2}$ D、当 $l_{1} / / l_{2}$ 时， $l_{1} ， l_{2}$ 之间的距离为 $\frac{1}{5}$

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12. 已知椭圆M： $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 斜率不为0的直线l交该椭圆于A，B两点，则（）

A、M的长轴长为6 B、 $△ A F_{1} F_{2}$ 的周长为8 C、 $△ A B F_{2}$ 的周长为12 D、 $△ A F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为 $2 \sqrt{5}$

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三、填空题

13. 抛物线 $x^{2} = 4 y$ 焦点的坐标为．

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14. 已知直线l经过点 $(1 ， - 2)$ ，且与直线 $2 x + 3 y - 1 = 0$ 垂直，则l的方程为.

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = 3 n^{2} + 8 n$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为.

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16. 已知直线l与椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1 (a > b > 0)$ 相交与A，B两点，AB中点坐标是 $M (- 4 ， 1)$ ，则直线l的方程是．

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1 ， a_{n + 1} = \frac{n}{n + 1} a_{n}$ .

(1)、写出数列 ${a_{n}}$ 的前5项.

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式.

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18.

(1)、已知椭圆的焦距为10，离心率为 $\frac{5}{13}$ ，求椭圆的标准方程；

(2)、已知双曲线的渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{5} x$ ，虚轴长为4，求双曲线的标准方程.

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19. 已知圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 4$ 和圆 $C$ ： $x^{2} + {(y - 4)}^{2} = 1$ .

(1)、判断圆 $O$ 和圆 $C$ 的位置关系；

(2)、过圆 $C$ 的圆心 $C$ 作圆 $O$ 的切线 $l$ ，求切线 $l$ 的方程.

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20. 已知 $A$ 为抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点，点 $A$ 到抛物线 $C$ 的焦点 $F$ 的距离为12，点 $A$ 到 $y$ 轴的距离为9．

(1)、求 $p$ 的值；

(2)、若斜率为1的直线 $l$ 经过抛物线 $C$ 的焦点 $F$ ，且与抛物线 $C$ 相交于 $M ､ N$ 两点．求线段 $| M N |$ 的长．

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21. 如图1所示，四边形ABCD中 $A D / / B C$ ， $A B = 1$ ， $A D = 2$ ， $B C = 3$ ， $∠ A B C = \frac{π}{2}$ ， M为AD的中点，N为BC上一点，且 $M N / / A B$ ．现将四边形ABNM沿MN翻折，使得AB与EF重合，得到如图2所示的几何体MDCNFE，其中 $F D = \sqrt{3}$ ．

(1)、证明： $C D ⊥$ 平面FND；

(2)、若P为FC的中点，求二面角 $F - N D - P$ 的余弦值．

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22. 已知双曲线： $\frac{x^{2}}{5 - m} - \frac{y^{2}}{m - 1} = 1 (1 < m < 5)$ 的一个焦点与抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点重合.

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ ： $x = t y + 8$ 交抛物线 $C$ 于A、B两点，O为原点，求证：以 $A B$ 为直径的圆经过原点O.

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