湖北省武汉市第六名校2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题

试卷更新日期：2024-01-04 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 函数 $f (x) = l n x + x - 8$ 的零点所在的区间为（）

A、 $(4 ， 5)$ B、 $(5 ， 6)$ C、 $(6 ， 7)$ D、 $(7 ， 8)$

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2. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} f (x + 2) ， x < 2 \\ {(\frac{1}{3})}^{x} ， x \geq 2 \end{array}$ ，则 $f (- 1 + l o g_{3} 5)$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{15}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、15 D、 $\frac{2}{3}$

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3. 已知某种食品保鲜时间与储存温度有关，满足函数关系 $y = e^{k x + b}$ （ $y$ 为保鲜时间， $x$ 为储存温度），若该食品在冰箱中 $0 ° C$ 的保鲜时间是144小时，在常温 $20 ° C$ 的保鲜时间是48小时，则该食品在高温 $40 ° C$ 的保鲜时间是（）

A、16小时 B、18小时 C、20小时 D、24小时

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4. 函数 $f (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{10 (| x | - 1)}$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 幂函数 $f (x)$ 图象过点 $(2 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，则 $y = f (x) + f (2 - | x |)$ 的定义域为（）

A、 $(0 ， 2)$ B、 $(0 ， 2]$ C、 $[0 ， 2]$ D、 $(- 2 ， 2)$

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6. 若 $0 < a < b < 1$ ， $x = a^{b}$ ， $y = b^{a}$ ， $z = b^{b}$ ，则 $x$ ， $y$ ， $z$ 的大小关系为（）

A、 $x < z < y$ B、 $y < x < z$ C、 $y < z < x$ D、 $z < y < x$

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7. “ $a > 2$ ”是“函数 $f (x) = l o g_{a} (a x^{2} - 3 x + a)$ 在区间 $(1 ， + \infty)$ 上单调递增”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 设函数 $f (x) = 2 | x - 1 | + l o g_{3} {(x - 1)}^{2}$ ，不等式 $f (a x) \leq f (x + 3)$ 在 $x \in (1 ， 2]$ 上恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， \frac{5}{2}]$ B、 $(- \infty ， 2]$ C、 $[- \frac{3}{2} ， \frac{5}{2}]$ D、 $[- 1 ， \frac{5}{2}]$

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二、多选题

9. 下列命题中正确的是（）

A、方程在 ${(\frac{1}{2})}^{x} - x^{2} = 0$ 在区间 $(0 ， 1)$ 上有且只有1个实根 B、若函数 $f (x) = x^{2} + a x + b$ ，则 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ C、如果函数 $y = x + \frac{1}{x}$ 在 $[a ， b]$ 上单调递增，那么它在 $[- b ， - a]$ 上单调递减 D、若函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(a ， b)$ 对称，则函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数

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10. 已知x，y是正数，且 $2 x + y = 1$ ，下列叙述正确的是（）

A、xy最大值为 $\frac{1}{8}$ B、 $4 x^{2} + y^{2}$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$ C、 $x (x + y)$ 最大值为 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{x + 2 y}{2 x y}$ 最小值为4

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11. 已知 $5^{a} = 3$ ， $8^{b} = 5$ ，则（）

A、 $a < b$ B、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} > 2$ C、 $a + \frac{1}{a} < b + \frac{1}{b}$ D、 $a + a^{b} < b + b^{a}$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + x + \frac{1}{4} ， x < 0 \\ | l n x - 1 | ， x ⟩ 0 \end{array}$ ，若方程 $f (x) = k (k \in R)$ 有四个不同的零点，它们从小到大依次记为 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4}$ ，则（）

A、 $0 < k < \frac{1}{4}$ B、 $e < x_{3} < e^{2}$ C、 $x_{1} + x_{2} = - 1$ D、 $0 < x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} < \frac{e^{2}}{4}$

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三、填空题

13. 已知 ${(\frac{1}{7})}^{a} = \frac{1}{3}$ ， $l o g_{7} 4 = b$ ，则a，b表示 $l o g_{49} 48 =$ ．

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14. 函数 $f (x) = l o g_{2} x - 2 l o g_{2} (x + 1)$ 值域为.

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15. 已知函数 $f (x) = l n (\sqrt{1 + x^{2}} + x) + a x + 4 (a \in R) ， f (l n (l o g_{2} e)) = 5$ ，则 $f (l n (l n 2))$ 的值为.

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16. 对于函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ ，设 $α \in {x | f (x) = 0}$ ， $β \in {x | g (x) = 0}$ ，若存在 $α$ ， $β$ ，使得 $| α - β | \leq 7$ ，则称函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 互为“零点相伴函数”，若函数 $f (x) = l n (x - 8) + x - 9$ 与 $g (x) = {(l o g_{2} x)}^{2} - (a + 1) \cdot l o g_{2} x + 3$ 互为“零点相伴函数”，则实数 $a$ 的取值范围为.

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四、解答题

17.

(1)、若 $x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} = 3$ ，求 $\frac{x^{3} + x^{- 3}}{x + x^{- 1} + 7}$ 的值.

(2)、求值： $\frac{2 l g 4 + l g 9}{1 + \frac{1}{2} l g 0.36 + \frac{1}{3} l g 8} + l o g_{4} 9 \times l o g_{3} 2$ .

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18. 已知函数 $f (x) = a^{x} + b$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）的部分图象如图示．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若关于x的不等式 ${(\frac{1}{a})}^{x} + {(- 2 b)}^{x} - m \leq 0$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上有解，求实数m的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x) = 4^{x} - a \cdot 2^{x + 1} + a + 1$ .

(1)、若 $a = 2$ ，求不等式 $f (x) < 0$ 的解集；

(2)、若 $x \in (- \infty ， 0)$ 时，不等式 $f (x) < 2 - a$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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20. 候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模地迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量M之间的关系为 $v = a + b l o g_{2} \frac{M - 25}{10}$ （其中a，b是常数），据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为65个单位，而其耗氧量为105个单位时，其飞行速度为1 m/s.

(1)、求 $202 0^{1 + a} + l o g_{2020} b$ 的值；

(2)、若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于3 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位?

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21. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} (m x^{2} - 4 x + 16) (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ .

(1)、若 $f (x)$ 的值域为 $R$ ，求 $m$ 的取值范围.

(2)、试判断是否存在 $m \in R$ ，使得 $f (x)$ 在 $[2 ， 4]$ 上单调递增，且 $f (x)$ 在 $[2 ， 4]$ 上的最大值为1.若存在，求 $m$ 的值（用 $a$ 表示）；若不存在，请说明理由.

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22. 已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = l o g_{2} (\frac{1}{x} + a)$ .

(1)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) - l o g_{2} [(a - 4) x + 2 a - 5] = 0$ 的解集中恰好有一个元素，求 $a$ 的取值范围；

(2)、设 $a > 0$ ，若对任意 $t \in [\frac{1}{2} ， 1]$ ，函数 $f (x)$ 在区间 $[t ， t + 1]$ 上的最大值与最小值的差不超过1，求 $a$ 的取值范围.

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