四川省泸州市合江县2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷

试卷更新日期：2024-01-03 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）

1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、矩形 B、平行四边形 C、等边三角形 D、等腰三角形

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2. 将一元二次方程 $(x + 2) (x - 3) = 5$ 化成一般形式，正确的是（　　）

A、 $x^{2} + x - 11 = 0$ B、 $x^{2} - x - 11 = 0$ C、 $x^{2} - x - 6 = 0$ D、 $x^{2} + x - 6 = 0$

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3. 把抛物线 $y = x^{2} + 1$ 向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（）

A、 $y = {(x + 3)}^{2} - 1$ B、 $y = {(x + 3)}^{2} + 3$ C、 $y = {(x - 1)}^{2} - 1$ D、 $y = {(x - 3)}^{2} - 1$

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4. 已知 $⊙ O$ 的半径为5，点P到圆心O的距离为 $3.5$ ，则点P在（）

A、圆外 B、圆上 C、圆内 D、不能确定

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5. 关于二次函数 $y = 2 {(x - 3)}^{2} + 2$ 的图象，下列叙述正确的是（）

A、图象开口向下 B、图象的对称轴为直线 $x = - 3$ C、当 $x > 3$ 时y随x增大而减小 D、图象经过点 $(2 ， 4)$

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6. 如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为点E，连接OD，CB，AC，∠DOB＝60°，EB＝2，那么CD的长为（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、 $3 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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7. 二次函数 $y = x^{2} + 2 x + 1$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 在圆内接正六边形 $A B C D E F$ 中，正六边形的边长为 $2 \sqrt{3}$ ，则这个正六边形的中心角和边心距分别是（）

A、 $30 °$ ， $1$ B、 $45 °$ ， $\sqrt{2}$ C、 $60 °$ ， $\sqrt{3}$ D、 $60 °$ ， $3$

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9. 我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步．设宽为x步，根据题意列方程正确的是（）

A、 $2 x + 2 (x + 12) = 864$ B、 $x^{2} + (x + 12)^{2} = 864$ C、 $x (x + 12) = 864$ D、 $x (x - 12) = 864$

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10. 如图，已知圆锥侧面展开图的扇形面积为 $65 π c m^{2}$ ，扇形的弧长为 $10 π c m$ ，则圆锥的高是（　　）

A、 $5 c m$ B、 $10 c m$ C、 $12 c m$ D、 $13 c m$

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11. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形 $A B C D E F$ 的中心与原点O重台， $A B ∥ x$ 轴，交y轴于点P．将 $△ O A P$ 绕点O逆时针旋转，每次旋转 $90 °$ ，则第2023次旋转结束时，点A的坐标为（）

A、 $(\sqrt{3} ， - 1)$ B、 $(- 1 ， - \sqrt{3})$ C、 $(- \sqrt{3} ， 1)$ D、 $(1 ， \sqrt{3})$

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12. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （a，b，c为常数，且 $a \neq 0$ ）关于直线 $x = 1$ 对称，与x轴的其中一个交点坐标为 $(- 1 ， 0)$ ，下列结论中：① $a b c < 0$ ；②关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的解是 $x_{1} = - 1 ， x_{2} = 3$ ；③ $8 a + c < 0$ ；④ $a m^{2} + b m < a + b$ ，其中正确的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）

13. 在平面直角坐标系中，点 $A (1 ， - 2)$ 关于原点对称的点为 $B (a ， b)$ ，则 $a + b =$ ．

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14. 函数 $y = x^{2} - 2 x - 2$ 的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得方程 $x^{2} - 2 x - 2 = 1$ 的解是．

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15. 已知x₁ ， x₂是关于x的一元二次方程 $x^{2} + 2 m x + m^{2} + m - 1 = 0$ 的两实数根，且 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 6$ ，则m的值是．

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16. 如图，半圆的直径AB=4，C，D是半圆的三等分点，则弦 $A C$ ， $A D$ 与弧 $C D$ 围成的阴影部分的面积是．

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三、解答题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）

17. 解方程： $2 (x - 3)^{2} = x^{2} - 9$

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18. 若函数 $y = (k + 3) x^{| k | - 1} + 2 x - 1$ 是以x为自变量的二次函数．

(1)、求k的值；

(2)、当函数值 $y = 7$ 时，求自变量x的值．

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19. 点A，B，C都在⊙O上，且 $C A = C B$ ，若 $A B = 8$ ， $⊙ O$ 的半径为5，连接CO，求 $A C$ 的长．

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四、解答题（本大题共2个小题，每小题7分，共14分）

20. 如图，方格纸中的每个小正方形都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点.△ABC的顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：

(1)、画出△ABC关于点P成中心对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、画出△ABC绕点P逆时针方向旋转 $90 °$ 后所得到的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，此时点 $B_{2}$ 的坐标为．

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21. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 3 x + m = 0$ ．

(1)、若方程有两个实数根，求m的范围；

(2)、若方程的一个根是 $- 1$ ，求另一个根及 $m$ 值．

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五、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）

22. 如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上，球飞行的路线看做抛物线），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头部的正上方达到最高点M处，距地面4米高，之后球在C点落地．

(1)、当足球开始飞出到第一次落地时，求足球飞行线路所在抛物线的解析式；

(2)、求足球第一次落地点C距守门员多少米？（用根号表示）

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23. 超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．

(1)、求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率．

(2)、经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？

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六、解答题（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）

24. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径， $C$ 为 $⊙ O$ 上一点， $C D ⊥ A B$ 于点 $D$ ， $P$ 为 $A B$ 延长线上一点， $∠ P C D = 2 ∠ B A C$ ．

(1)、求证： $C P$ 为 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $B P = 2$ ， $C P = 2 \sqrt{5}$ ，求线段AC的长.

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25. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象交 $x$ 轴于 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (2 ， 0)$ ，交 $y$ 轴于 $C (0 ， - 2)$ .

(1)、求二次函数的解析式；

(2)、若点 $M$ 为该二次函数图象在第四象限内一个动点，求点 $M$ 运动过程中，四边形 $A C M B$ 面积的最大值.

(3)、点 $P$ 在该二次函数图象的对称轴上，且使 $| P B - P C |$ 最大，求点 $P$ 的坐标；

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