安徽省芜湖市无为市多校联考2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2024-01-03 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的.

1. 下列四个图案中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 用配方法解一元二次方程 $x^{2} - 8 x + 12 = 0$ ，配方后得到的方程是（）

A、 ${(x - 4)}^{2} = 6$ B、 ${(x - 4)}^{2} = 4$ C、 ${(x - 2)}^{2} = 6$ D、 ${(x - 2)}^{2} = 4$

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3. 已知点 $A (a ， 2022)$ 与点 $A^{'} (- 2023 ， b)$ 是关于原点O的对称点，则 $a + b$ 的值为（）

A、1 B、5 C、6 D、4

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4. “一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2020年人均年收入20000元，到2022年人均年收入达到39200元，则该地区居民年人均收入平均增长率为（）

A、40% B、30% C、20% D、10%

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5. 如图，将 $△ A B C$ 绕点C顺时针旋转 $90 °$ 得到 $△ E D C$ .若点A，D，E在同一条直线上， $∠ A C B = 20 °$ ，则 $∠ A D C$ 为（）

A、 $25 °$ B、 $50 °$ C、 $65 °$ D、 $70 °$

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6. 若抛物线 $y = x^{2} + 4 x + c$ 经过 $A (- 5 ， y_{1})$ ， $B (- 3 ， y_{2})$ 两点，则下列结论正确的是（）

A、 $c < y_{2} < y_{1}$ B、 $y_{2} < y_{1} < c$ C、 $y_{1} < y_{2} < c$ D、 $y_{2} < c < y_{1}$

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7. 已知抛物线 $y = x^{2} - 2 m x + 5$ 经过 $(1 ， n)$ 和 $(3 ， n)$ 两点，则m的值为（）

A、4 B、－2 C、2 D、1

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8. 已知4是关于x的方程 $x^{2} - (m + 1) x + 2 m = 0$ 的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰 $△ A B C$ 的两条边的边长，则 $△ A B C$ 的周长为（）

A、7 B、10 C、11 D、10或11

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9. 已知抛物线 $y = x^{2} + k x - k^{2}$ 的对称轴在 $y$ 轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则 $k$ 的值是（）

A、-5或2 B、-5 C、2 D、-2

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10. 如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P，Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿 $A \to B \to C$ 和 $A \to D \to C$ 的路径向点C运动.设运动时间为x（单位：s）四边形PBDQ的面积为y（单位： $c m^{2}$ ），则y与 $x (0 < x < 8)$ 之间的函数图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

11. 若关于x的一元二次方程 $x^{2} - a x + 6 = 0$ 的一个根是 $x = 2$ ，则a的值为.

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12. 函数 $y = x^{2} - 2 x - 2$ 的图象如图所示，根据其中提供的信息，可得方程 $x^{2} - 2 x - 2 = 1$ 的解是.

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13. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ， $A C = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{3}$ ，将 $△ A B C$ 绕点C逆时针旋转至 $△ A^{'} B^{'} C$ ，使得点 $A^{'}$ 恰好落在AB上， $A^{'} B^{'}$ 与BC交于点D，则 $△ A^{'} C D$ 的面积为.

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14. 已知二次函数 $y = x^{2} - 2 m x + m^{2} - 4$ .

(1)、若该函数图象的对称轴为直线 $x = 2$ ，则 $m =$ .

(2)、若该函数图象与x正半轴有且只有一个交点，则m的取值范围是.

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三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

15. 用适当的方法解方程：
${(x - 3)}^{2} = {(2 x + 5)}^{2}$

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16. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - 4 x - m^{2} = 0$ .

(1)、求证：该方程有两个不相等的实数根.

(2)、若该方程的两个实数根 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 满足 $x_{1} + 2 x_{2} = 9$ ，求m的值.

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四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点都在格点上.
⑴将 $△ A B C$ 绕原点O逆时针旋转 $90 °$ 得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ .
⑵画出 $△ A B C$ 关于原点O成中心对称的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，并写出点 $C_{2}$ 的坐标.

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18. 定义新运算：对于任意实数m、n都有 $m * n = m^{2} - m n$ .
例如： $- 2 * 2 = {(- 2)}^{2} - (- 2) \times 2 = 8$ ，根据以上知识解决下列问题：

(1)、若 $x * 3 = - 2$ ，求x的值.

(2)、求抛物线 $y = (x + 2) * (- 2)$ 的顶点坐标.

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五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19. 如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地.若耕地面积需要551米 $^{2}$ ，求修建的路宽.

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20. 某商店十月份销售一种成本价50元/件的商品，经市场调查发现：该商品的每天的销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函致，其售价，销售量的两组对应值如下表：
售价x（元/件）
55
65
销售量y（件/天）
90
70

(1)、求销售量y与售价x之间的函数关系式；

(2)、十月份销售该商品时，售价定为多少元，每天才能获取最大利润？最大销售利润是多少？

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六、（本题满分12分）

21. 某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线.已知跳板AB长为2米，跳板距水面CD高BC为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度4米，现以CD所在直线为x轴，CB所在直线为y轴建立平面直角坐标系.

(1)、求这条抛物线的解析式；

(2)、求运动员落水点与点C的距离.

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七、（本题满分12分）

22. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = x + 3$ 分别交x轴，y轴于A，B两点.抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 经过A，B两点，且与x轴的另一个交点为 $C (1 ， 0)$ .

(1)、求该抛物线的解析式.

(2)、若点P是线段AB上一个动点，过点P作x轴的垂线，交该抛物线于点Q，连接AQ，BQ，求 $△ A B Q$ 面积的最大值.

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八、（本题满分14分）

23. 如图1，在正方形ABCD内作 $∠ E A F = 45 °$ ， AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作 $A H ⊥ E F$ ，垂足为H.

图1 图2 图3

(1)、如图2，将 $△ A D F$ 绕点A顺时针旋转 $90 °$ 得到 $△ A B G$ .
①求证： $△ A G E ≌ △ A F E$ .
②若 $B E = 2$ ， $D F = 3$ ，求AH的长.

(2)、如图3，连接BD交AE于点M，交AF与点N，请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么关系？请说明理由？

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售价x（元/件）	55	65
销售量y（件/天）	90	70