浙江省湖州市重点中学2023-2024学年高三上学期期中测试数学试卷

试卷更新日期：2024-01-02 类型：期中考试

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一、单选题（1-8题为单选题，每小题只有一个正确选项，每小题5分，共40分）

1. 已知集合 $M = {x ∣ x^{2} - 2 x - 3 \leq 0} ， N = {x ∣ - 2 < x < 1}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${x ∣ - 2 < x < 1}$ B、 ${x ∣ - 1 \leq x < 1}$ C、 ${x ∣ 1 < x < 3}$ D、 ${x ∣ - 2 < x < 3}$

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2. 已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ， $\vec{c} = \frac{1}{3} \vec{a}$ ，若 $\vec{c}$ 为 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量，则向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 夹角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{5}$

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3. 设 $z = a + b i (a ， b \in R)$ （ $i$ 为虚数单位）为复数，则下列说法正确的是（）

A、若 $z$ 是纯虚数，则 $a = 0$ 或 $b \neq 0$ B、复数 $z$ 模长的平方值等于复数 $z$ 的平方值 C、若 $z$ 的模长为 $1$ ，则 $| z + i |$ 的最大值为 $2$ D、若 $| z - 1 | = 1$ ，则 $0 < | z | \leq 2$

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4. 若数列 ${a_{n}}$ 满足 $(n - 1) a_{n} = (n + 1) a_{n - 1} (n \geq 2)$ ， $a_{1} = 2$ ，则满足不等式 $a_{n} < 930$ 的最大正整数 $n$ 为（）

A、28 B、29 C、30 D、31

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5. 甲箱中有 $5$ 个红球， $2$ 个白球和 $3$ 个黑球；乙箱中有 $4$ 个红球， $3$ 个白球和 $3$ 个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ 、 $A_{3}$ 表示由甲箱中取出的是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以 $B$ 表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论错误的是（）

A、 $P (B) = \frac{2}{5}$ B、 $P (B | A_{1}) = \frac{5}{11}$ C、事件 $B$ 与事件 $A_{1}$ 不相互独立 D、 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ 、 $A_{3}$ 两两互斥

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6. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{2 l n x}{x} ， x > 0 \\ s i n (ω x + \frac{π}{6}) ， - π \leq x \leq 0 \end{array}$ 若 $y = f (x) - \frac{1}{2}$ 恰有5个不同零点，则正实数 $ω$ 的范围为（）

A、 $(\frac{10}{3} ， 4]$ B、 $[\frac{10}{3} ， 4)$ C、 $(2 ， \frac{10}{3}]$ D、 $[2 ， \frac{10}{3})$

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7. 对于平面上点 $P$ 和曲线 $C$ ，任取 $C$ 上一点 $Q$ ，若线段 $P Q$ 的长度存在最小值，则称该值为点 $P$ 到曲线 $C$ 的距离，记作 $d (P ， C)$ ．下列结论中正确的个数为（）
①若曲线 $C$ 是一个点，则点集 $D = {P | d (P ， C) \leq 2}$ 所表示的图形的面积为 $4 π$ ；②若曲线 $C$ 是一个半径为 $2$ 的圆，则点集 $D = {P | d (P ， C) \leq 1}$ 所表示的图形的面积为 $9 π$ ；③若曲线 $C$ 是一个长度为 $2$ 的线段，则点集 $D = {P | d (P ， C) \leq 1}$ 所表示的图形的面积为 $π + 4$ ；④若曲线 $C$ 是边长为 $9$ 的等边三角形，则点集 $D = {P | d (P ， C) \leq 1}$ 所表示的图形的面积为 $54 + π - 3 \sqrt{3}$ ．

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 已知数列{an}满足 $\sum_{i = 1}^{n} a_{i} \neq 0$ ，对于函数f（x）＝x|x|，定义F（n）＝ $\frac{\sum_{i = 1}^{n} f (a_{i})}{\sum_{i = 1}^{n} a_{i}}$ ．
①若{a_n}为等比数列，则F（n）＞0恒成立；②若{a_n}为等差数列，则F（n）＞0恒成立．
关于上述命题，以下说法正确的是（　　）

A、①②都正确 B、①②都错误 C、①正确，②错误 D、①错误，②正确

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二、多选题（9-12题为多选题，每小题有2-4个正确选项，全部选对得5分，部分选对得2分，共20分）

9. 如图所示，棱长为3的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为线段 $A_{1} B$ 上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（）

A、 $D_{1} P ⊥ A B_{1}$ B、 $D_{1} P$ 与 $A C$ 所成的角可能是 $\frac{π}{6}$ C、 $\bar{A P} \cdot \bar{D C_{1}}$ 是定值 D、当 $A_{1} P = 2 P B$ 时，点 $C_{1}$ 到平面 $D_{1} A P$ 的距离为1

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10. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，下列四个命题中正确的是（）

A、若 $a c o s A = b c o s B$ ，则 $△ A B C$ 一定是等腰三角形 B、若 $b c o s C + c c o s B = b$ ，则 $△ A B C$ 是等腰三角形 C、若 $\frac{a}{c o s A} = \frac{b}{c o s B} = \frac{c}{c o s C}$ ，则 $△ A B C$ 一定是等边三角形 D、若 $B = 60 ° ， b^{2} = a c$ ，则 $△ A B C$ 是直角三角形

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11. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左焦点为F，P为C右支上的动点，过P作C的一条渐近线的垂线，垂足为A，O为坐标原点，则下列说法正确的是（）

A、点F到C的一条渐近线的距离为2 B、双曲线C的离心率为 $\frac{5}{3}$ C、则P到C的两条渐近线的距离之积大于4 D、当 $| P A | + | P F |$ 最小时，则 $△ P A F$ 的周长为 $10 + 2 \sqrt{13}$

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12. 已知函数 $f (x)$ 为定义在 $R$ 上的偶函数， $f (0) = 1$ ，且 $f (x - 1) + f (x + 1) = f (x)$ ，则（）

A、 $f (1) = \frac{1}{2}$ B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{3}{2} ， 0)$ 对称 C、 $f (x)$ 以6为周期的函数 D、 $\sum_{k = 1}^{2023} f (k) = - \frac{1}{2}$

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三、填空题（13-16题为填空题，请在空白处填出正确答案，每小题5分，共20分）

13. 已知 ${(1 + 2 x)}^{2023} + {(2 - x)}^{2023} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{2022} x^{2022} + a_{2023} x^{2023}$ ，若存在 $k \in {0 ， 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， 2023}$ 使得 $a_{k} < 0$ ，则k的最大值为．

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14. 已知空间一个平面与一个正方体的12条棱所成的角都等于 $α$ ，则 $s i n α$ =.

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15. 若平面上的三个单位向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ 满足 $| \vec{a} \cdot \vec{b} | = \frac{1}{2}$ ， $| \vec{a} \cdot \vec{c} | = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $\vec{b} \cdot \vec{c}$ 的所有可能的值组成的集合为．

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16. 若存在实常数 $k$ 和 $b$ ，使得函数 $F (x)$ 和 $G (x)$ 对其公共定义域上的任意实数 $x$ 都满足 $F (x) \geq k x + b$ 和 $G (x) \leq k x + b$ 恒成立，则称直线 $y = k x + b$ 为 $F (x)$ 和 $G (x)$ 的“隔离直线”．已知函数 $f (x) = x^{2} (x \in R)$ ， $g (x) = \frac{1}{x} (x < 0)$ ， $h (x) = 2 e l n x$ ，则有下列命题：
① $y = - g (x)$ 与 $h (x)$ 有“隔离直线”；
② $f (x)$ 和 $g (x)$ 之间存在“隔离直线”，且 $b$ 的最小值为 $- 4$ ；
③ $f (x)$ 和 $g (x)$ 之间存在“隔离直线”，且 $k$ 的取值范围是 $(- 4 ， 0]$ ；
④ $f (x)$ 和 $h (x)$ 之间存在唯一的“隔离直线” $y = 2 \sqrt{e} x - e$ ．
其中真命题的序号为．（请填上所有正确命题的序号）

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四、解答题（17-22题为解答题，17题10分，18-22题每题12分，请在答题纸固定位置填入答案和解答步骤，共70分）

17. 2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组 $[45 ， 55)$ ，第二组 $[55 ， 65)$ ，第三组 $[65 ， 75)$ ，第四组 $[75 ， 85)$ ，第五组 $[85 ， 95)$ ，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．

(1)、估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数；

(2)、现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．
若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组面试者所有人的方差．

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18. 已知四棱锥 $P - A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $∠ P A B = 9 0^{∘}$ ， $∠ P B A = 4 5^{∘}$ ， $∠ A B C = 4 5^{∘}$ ， $∠ P B C = 6 0^{∘}$ .

(1)、证明： $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $P B = P C$ ，求二面角 $D - P C - B$ 的正弦值.

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19. 在锐角 $△ A B C$ 中，设边 $a ， b ， c$ 所对的角分别为 $A ， B ， C$ ，且 $a^{2} - b^{2} = b c$ ．

(1)、证明： $A = 2 B$

(2)、若 $a = 1$ ，求 $2 b + c$ 的取值范围．

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20. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为 $2 \sqrt{3}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，椭圆的左右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，直角坐标原点记为 $O$ ．设点 $P (0 ， t)$ ，过点 $P$ 作倾斜角为锐角的直线 $l$ 与椭圆交于不同的两点 $B$ 、 $C$ ．

(1)、设椭圆上有一动点 $T$ ，求 $\vec{P T} \cdot (\vec{T F_{1}} - \vec{T F_{2}})$ 的取值范围；

(2)、设线段 $B C$ 的中点为 $M$ ，当 $t \geq \sqrt{2}$ 时，判别椭圆上是否存在点 $Q$ ，使得非零向量 $\vec{O M}$ 与向量 $\vec{P Q}$ 平行，请说明理由．

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21. 已知空间向量列 ${\vec{a_{n}}}$ ，如果对于任意的正整数 $n$ ，均有 $\vec{a_{n + 1}} - \vec{a_{n}} = \vec{d}$ ，则称此空间向量列 ${\vec{a_{n}}}$ 为“等差向量列”， $\vec{d}$ 称为“公差向量”；空间向量列 ${{\vec{b}}_{n}}$ ，如果 ${\vec{b}}_{1} \neq \vec{0}$ 且对于任意的正整数 $n$ ，均有 $\vec{b_{n + 1}} = q \cdot \vec{b_{n}}$ ， $q \neq 0$ ，则称此空间向量列 ${\vec{b_{n}}}$ 为“等比向量列”，常数 $q$ 称为“公比”．

(1)、若 ${\vec{a_{n}}}$ 是“等差向量列”，“公差向量” $\vec{d} = (1 ， 1 ， 0)$ ， ${\vec{a}}_{1} = (0 ， 0 ， 0)$ ， $\vec{a_{n}} = (x_{n} ， y_{n} ， z_{n})$ ； ${\vec{b_{n}}}$ 是“等比向量列”，“公比” $q = 2$ ， ${\vec{b}}_{1} = (\frac{1}{2} ， \frac{1}{2} ， 0)$ ， $\vec{b_{n}} = (m_{n} ， k_{n} ， t_{n})$ ．求 ${\vec{a}}_{1} \cdot {\vec{b}}_{1} + {\vec{a}}_{2} + {\vec{b}}_{2} + \cdot \cdot \cdot + {\vec{a}}_{n} \cdot {\vec{b}}_{n}$ ．

(2)、若 ${\vec{a_{n}}}$ 是“等差向量列”， ${\vec{a}}_{1} = (0 ， 0 ， 0)$ ，记 $c_{n} = | \vec{a_{n}} |$ ， $m \in N$ 且 $m \geq 1$ ，等式 $S (m) = | c_{1} | + | c_{2} | + | c_{3} | + \cdot \cdot \cdot + | c_{m} | = | c_{1} - c | + | c_{2} - c | + | c_{3} - c | + \cdot \cdot \cdot + | c_{m} - c |$ 对于 $c = - 1$ 和2均成立，且 $S (m) = 507$ ，求 $m$ 的最大值．

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22. 设 $y = f (x)$ 是定义在 $R$ 上的函数，若存在区间 $[a ， b]$ 和 $x_{0} \in (a ， b)$ ，使得 $y = f (x)$ 在 $[a ， x_{0}]$ 上严格减，在 $[x_{0} ， b]$ 上严格增，则称 $y = f (x)$ 为“含谷函数”， $x_{0}$ 为“谷点”， $[a ， b]$ 称为 $y = f (x)$ 的一个“含谷区间”．

(1)、已知实数 $m > 0$ ， $y = x^{2} - 2 x - m l n (x - 1)$ 是含谷函数，且 $[2 ， 4]$ 是它的一个含谷区间，求 $m$ 的取值范围；

(2)、设 $p ， q \in R$ ， $h (x) = - x^{4} + p x^{3} + q x^{2} + (4 - 3 p - 2 q) x$ ．设函数 $y = h (x)$ 是含谷函数， $[a ， b]$ 是它的一个含谷区间，并记 $b - a$ 的最大值为 $L (p ， q)$ ．若 $h (1) \leq h (2)$ ，且 $h (1) ≤ 0$ ，求 $L (p ， q)$ 的最小值．

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