湖北省松滋市重点中学2023-2024学年高三上学期数学12月迎一检模拟测试（二）试卷

试卷更新日期：2024-01-02 类型：月考试卷

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一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知 $p$ ： $| x - a | < 1$ ， $q$ ： $\frac{1}{x - 2} \geq 1 .$ 若 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(2，3]$ B、 $[2，3]$ C、 $(- \infty ， 3]$ D、 $(2，3)$

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2. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的图象如图所示，将 $y = f (x)$ 的图象向右平移 $θ (θ > 0)$ 个单位，使新函数为偶函数，则 $θ$ 的最小值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{12}$ D、 $\frac{5 π}{12}$

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3. 中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为 $2 \sqrt{3}$ 的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（）

A、16 B、 $16 \sqrt{3}$ C、 $18 \sqrt{3}$ D、21

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4. 已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - 2 \vec{b} |$ ，且 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $\frac{2}{3} \vec{a}$ ，则 $\frac{| \vec{a} |}{| \vec{b} |} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $2$ D、 $\sqrt{3}$

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5. 等差数列 $\{\begin{array}{l} a_{n} \end{array}\}$ 、 $\{\begin{array}{l} b_{n} \end{array}\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}$ 与 $T_{n}$ ，且 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{2 n + 2}{n + 3}$ ，则 $\frac{a_{3} + a_{9}}{3 b_{7} - b_{9}} =$ （）

A、 $\frac{14}{9}$ B、 $\frac{12}{7}$ C、 $\frac{26}{15}$ D、 $\frac{7}{4}$

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6. 下列关于统计概率知识的判断，正确的是（）

A、将总体划分为 $2$ 层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为 ${\bar{x}}_{1}$ ， ${\bar{x}}_{2}$ 和 $S_{1}^{2} ， S_{2}^{2}$ 且已知 ${\bar{x}}_{1} = {\bar{x}}_{2}$ ，则总体方差 $s^{2} = \frac{1}{2} ({s_{1}}^{2} + {s_{2}}^{2})$ B、在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数 $r$ 越接近于 $1$ C、已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，若 $P (X \geq - 1) + P (X \geq 5) = 1$ ，则 $μ = 2$ D、按从小到大顺序排列的两组数据：甲组： $27$ ， $30$ ， $37$ ， $m$ ， $40$ ， $50 ；$ 乙组： $24$ ， $n$ ， $33$ ， $44$ ， $48$ ， $52$ ，若这两组数据的第 $30$ 百分位数、第 $50$ 百分位数都分别对应相等，则 $m + n = 67$

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7. 若 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $\frac{1}{2 x + 1} + \frac{1}{x + y} = 1$ ，则 $2 x + y$ 的最小值为（）

A、 $2$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $1 + \sqrt{2}$ D、 $2 + 2 \sqrt{2}$

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8. 双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2} .$ 过 $F_{2}$ 作其中一条渐近线的垂线，垂足为 $P .$ 已知 $| P F_{2} | = 2$ ，直线 $P F_{1}$ 的斜率为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ，则双曲线的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$

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二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 设 $A$ ， $B$ 是一个随机试验中的两个事件，且 $P (A) = \frac{1}{3}$ ， $P (B) = \frac{3}{4}$ ， $P (A + \bar{B}) = \frac{1}{2}$ ，则（）

A、 $P (A \bar{B}) = \frac{1}{6}$ B、 $P (B | A) = \frac{3}{4}$ C、 $P (\bar{B}) = P (\bar{B} | A)$ D、 $P (A \bar{B} + \bar{A} B) = \frac{7}{12}$

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10. 某学校一同学研究温差 $x (℃)$ 与本校当天新增感冒人数 $y ($ 人 $)$ 的关系，该同学记录了 $5$ 天的数据：

$x$

$5$

$6$

$8$

$9$

$12$

$y$

$17$

$20$

$25$

$28$

$35$
经过拟合，发现基本符合经验回归方程 $\hat{y} = 2.6 x + \hat{a}$ ，则（）

A、样本中心点为 $(8，25)$ B、 $\hat{a} = 4.2$ C、 $x = 5$ 时，残差为 $- 0.2$ D、若去掉样本点 $(8，25)$ ，则样本的相关系数 $r$ 增大

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11. 已知椭圆 $M ： \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{20} = 1$ 的左、右焦点分别是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，左、右顶点分别是 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，点 $P$ 是椭圆上异于 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 的任意一点，则下列说法正确的是（）

A、 $| P F_{1} | + | P F_{2} | = 5$ B、直线 $P A_{1}$ 与直线 $P A_{2}$ 的斜率之积为 $- \frac{4}{5}$ C、存在点 $P$ 满足 $∠ F_{1} P F_{2} = 90^{\circ}$ D、若 $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积为 $4 \sqrt{5}$ ，则点 $P$ 的横坐标为 $\pm \sqrt{5}$

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12. 如图，在矩形 $A E F C$ 中， $A E = 2 \sqrt{3}$ ， $E F = 4$ ， $B$ 为 $E F$ 中点，现分别沿 $A B$ 、 $B C$ 将 $△ A B E$ 、 $△ B C F$ 翻折，使点 $E$ 、 $F$ 重合，记为点 $P$ ，翻折后得到三棱锥 $P - A B C$ ，则（）

A、三棱锥 $P - A B C$ 的体积为 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ B、直线 $P A$ 与直线 $B C$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ C、直线 $P A$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值为 $\frac{1}{3}$ D、三棱锥 $P - A B C$ 外接球的半径为 $\frac{\sqrt{22}}{2}$

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三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 若复数 $z$ 满足 $(3 - 4 i) z = |4 + 3 i|$ ，则 $z$ 的虚部为．

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14. 如图，在 $△ A B C$ 所在平面内，分别以 $A B$ ， $B C$ 为边向外作正方形 $A B E F$ 和正方形 $B C H G .$ 记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，面积为 $S .$ 已知 $S = \frac{3}{4}$ ，且 $a s i n A + c s i n C = 4 a s i n C s i n B$ ，则 $F H =$ ．

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15. 写出曲线 $y = e^{x} - 1$ 与曲线 $y = l n (x + 1)$ 的公切线的一个方向向量．

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16. 已知函数 $f (x) = a x - l n x - 1$ ， $g (x) = \frac{x^{3}}{27}$ ，用 $m a x {m ， n}$ 表示 $m$ ， $n$ 中的最大值，设 $φ (x) = m a x {f (x) ， g (x)} .$ 若 $φ (x) \geq \frac{x}{3}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为．

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四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 设数列 $a_{n}$ 前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} + a_{n} = \frac{n - 1}{n^{2} + n}$ ， $n \in N^{*}$ ．

(1)、证明：数列 ${s_{n} - \frac{1}{n + 1}}$ 为等比数列 $；$

(2)、记 $\frac{1}{b_{n}} = \frac{1}{n + 1} - S_{n}$ ，求数列 ${\frac{b_{n}}{(b_{n} - 1) (b_{n + 1} - 1)}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18. 已知锐角 $Δ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ ，的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $(2 s i n A - c o s C) b = c c o s B$ ．

(1)、求 $B ；$

(2)、若 $a = 1$ ，求 $b + c$ 的取值范围．

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $A B ⊥ A P$ ， $A B = 3$ ， $A D = 4$ ， $B C = 5$ ， $C D = 6 .$ 过直线 $A B$ 的平面分别交棱 $P D$ ， $P C$ 于 $E$ ， $F$ 两点．

(1)、求证： $P D ⊥ E F$ ；

(2)、若直线 $P C$ 与平面 $P A D$ 所成角为 $\frac{π}{3}$ ，且 $P A = P D$ ， $E F = A B$ ，求二面角 $A - B D - F$ 的余弦值．

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20. 在某校举办“青春献礼二十大，强国有我新征程”的知识能力测评中，随机抽查了100名学生，其中共有4名女生和3名男生的成绩在90分以上，从这7名同学中每次随机抽1人在全校作经验分享，每位同学最多分享一次，记第一次抽到女生为事件A，第二次抽到男生为事件B．

(1)、求 $P (B)$ ， $P (B | A)$ ，

(2)、若把抽取学生的方式更改为：从这7名学生中随机抽取3人进行经验分享，记被抽取的3人中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望．

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21. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ， $A$ 、 $C$ 分别是 $E$ 的上、下顶点， $B$ ， $D$ 分别是 $E$ 的左、右顶点， $| A C | = 4$ ．

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、设 $P$ 为第一象限内 $E$ 上的动点，直线 $P D$ 与直线 $B C$ 交于点 $M$ ，直线 $P A$ 与直线 $y = - 2$ 交于点 $N .$ 求证： $M N / / C D$ ．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{a x}{e^{x}} - x + l n x$ ．

(1)、当 $a = - 1$ 时，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、当 $a > 0$ 时，设 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ， $x_{1} \neq x_{2}$ ，证明： $x_{1} x_{2} < 1$ ．

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$x$	$5$	$6$	$8$	$9$	$12$
$y$	$17$	$20$	$25$	$28$	$35$