河北省承德市双滦区重点中学2023-2024学年高三上学期数学12月月考试卷

试卷更新日期：2024-01-02 类型：月考试卷

进入出卷网下载

一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知集合 $M = [- 1 ， 1]$ ， $N = {x | \frac{1}{2} < 2^{x + 1} < 4 ， x \in Z}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $[- 1 ， 1]$ B、 ${- 1}$ C、 ${0}$ D、 ${- 1 ， 0}$

查看试题解析
2. 已知 $i$ 为复数单位， $\frac{3 + a i}{1 - i} = 2 + i$ ，则 $z = 1 + a i$ 的模为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、1 C、2 D、4

查看试题解析
3. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， m)$ ， $\vec{b} = (m + 1 ， - 1)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，若 $\vec{c} = (2 ， 1)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{c}$ 方向上的投影向量的坐标是（）

A、 $(\frac{4}{5} ， \frac{2}{5})$ B、 $(\frac{1}{2} ， - \frac{1}{2})$ C、 $(- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2})$ D、 $(- \frac{4}{5} ， - \frac{2}{5})$

查看试题解析
4. 已知等轴双曲线 $C$ 的对称轴为坐标轴，且经过点 $A (4 \sqrt{2} ， 2)$ ，则双曲线 $C$ 的标准方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{36} - \frac{y^{2}}{36} = 1$ B、 $\frac{y^{2}}{36} - \frac{x^{2}}{36} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{28} - \frac{y^{2}}{28} = 1$ D、 $\frac{y^{2}}{28} - \frac{x^{2}}{28} = 1$

查看试题解析
5. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ 且满足 $a b - 1 = \frac{a}{a + b}$ ，则 $a + b$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{2} + 1$ B、 $2 \sqrt{2} + 3$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $\sqrt{6}$

查看试题解析
6. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{3} + 2 a_{4} + a_{13} = 120$ ，则 $S_{11} - 5 a_{6} =$ （）

A、60 B、120 C、180 D、240

查看试题解析
7. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，若棱长为 $1$ ， $E$ ， $F$ 分别为线段 $B_{1} D_{1}$ ， $B C_{1}$ 上的动点，则下列结论错误的是（）

A、 $D B_{1} ⊥$ 平面 $A C D_{1}$ B、直线 $A E$ 与平面 $B B_{1} D_{1} D$ 所成角的正弦值为定值 $\frac{1}{3}$ C、平面 $A_{1} C_{1} B / /$ 平面 $A C D_{1}$ D、点 $F$ 到平面 $A C D_{1}$ 的距离为定值 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

查看试题解析
8. 已知函数 $f (x) = e^{x} (x^{2} + a)$ ，若 $f (x)$ 在R上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 1]$ B、 $(- \infty ， 1)$ C、 $(1 ， + \infty)$ D、 $[1 ， + \infty)$

查看试题解析

二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 已知函数 $f (x) = s i n (2 x - \frac{π}{6})$ ，则下列四个结论中不正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{5 π}{12} ， 0)$ 中心对称 B、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{8}$ 对称 C、函数 $f (x)$ 在区间 $(- π ， π)$ 内有4个零点 D、函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2} ， 0]$ 上单调递增

查看试题解析
10. 已知 $f (x)$ 的定义域为 $R$ 且 $f (x + 1)$ 为奇函数， $f (x + 2)$ 为偶函数，且对任意的 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (1 ， 2)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} > 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 是偶函数 B、 $f (2023) = 0$ C、 $f (x)$ 的图象关于 $(1 ， 0)$ 对称 D、 $f (- \frac{7}{4}) < f (\frac{19}{8})$

查看试题解析
11. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆C： $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{6} = 1$ 的左右焦点，点M在C上，且 $∠ F_{1} M F_{2} = 60 °$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $△ F_{1} M F_{2}$ 的面积是 $2 \sqrt{3}$ B、 $△ F_{1} M F_{2}$ 的内切圆的半径为 $\sqrt{3} - 1$ C、点M的纵坐标为2 D、若点P是C上的一动点，则 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}}$ 的最大值为6

查看试题解析
12. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{3} + 2 x^{2} + x ， x < 0 \\ a l n (x + 1) ， x \geq 0 \end{array}$ ，则下列说法正确的有（）

A、对于任意 $a \in R$ ，函数 $f (x)$ 有且只有两个零点 B、当 $a < 0$ 时，函数 $f (x)$ 有三个极值点 C、当 $x \in (- \infty ， 0)$ 时，函数 $f (x)$ 的图象的切线的斜率最小值为 $- \frac{1}{3}$ D、若函数 $f (x)$ 在 $[- 1 ， e - 1]$ 上的最小值为 $- \frac{4}{27}$ ，则 $a \in [- \frac{4}{27} ， + ∞)$

查看试题解析

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 命题 $P ： f (x) = 2 a x^{2} + \frac{8}{3} x + 1 (a > 0)$ 在 $[- 1 ， 2]$ 单调增函数，命题 $Q ： g (x) = {\begin{array}{l} a x - 2 ， x \leq 2 \\ \frac{a - 2}{x} ， x > 2 \end{array}$ （ $a \in R$ ）在R上为增函数，则命题P是命题Q的．（在“充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件”中选择最合适的填写）

查看试题解析
14. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第十六题的“物不知数”问题，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？现有一个相关的问题：将1到2 023这2 023个自然数中被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数为．

查看试题解析
15. 在 $△ A B C$ 中， $B C = 2$ ， $(\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |} + \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} |}) \cdot \vec{B C} = 0$ ， $\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |} \cdot \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} |} = \frac{1}{2}$ ，则 $△ A B C$ 的周长为.

查看试题解析
16. 已知F₁ ， F₂为椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的两个焦点，过F₁的直线交椭圆于A，B两点，若|F₂A|＋|F₂B|＝12，则|AB|＝.

查看试题解析

四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c ， b = \sqrt{3} ， a < c$ ，且 $\sqrt{3} s i n 2 A - c o s 2 A = 1$ ，

(1)、求 $A$ 的大小；

(2)、若 $a s i n A + c s i n C = 4 \sqrt{3} s i n B$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

查看试题解析
18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为a_n=2n-1，数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，且满足 $T_{n} = 1 - b_{n}$

(1)、求 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、在 ${a_{n}}$ 中是否存在使得 $\frac{1}{a_{n} + 25}$ 是 $b_{n}$ 中的项，若存在，请写出满足题意的一项（不要求写出所有的项）；若不存在，请说明理由．

查看试题解析
19. 已知函数 $f (x) = a l n x + b x^{2} + x$ 在 $x = 1$ 处的切线方程 $6 x - y - 2 = 0$ ．

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间与极小值．

查看试题解析
20. 在图1中，四边形 $A B C D$ 为梯形， $A D / / B C$ ， $∠ A B C = \frac{π}{6}$ ， $∠ B C D = \frac{π}{3}$ ， $A D = C D = 2$ ，过点A作 $A E ⊥ A B$ ，交 $B C$ 于 $E$ ．现沿 $A E$ 将 $△ A B E$ 折起，使得 $B C ⊥ D E$ ，得到如图2所示的四棱锥 $B - A E C D$ ，在图2中解答下列两问：

(1)、求四棱锥 $B - A E C D$ 的体积；

(2)、若F在侧棱 $B C$ 上， $B F = \frac{3}{4} B C$ ，求证：二面角 $C - E F - D$ 为直二面角．

查看试题解析
21. 已知焦点在 $x$ 轴上的椭圆 $C$ 过点 $(0 ， 1)$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $Q$ 为椭圆 $C$ 的左顶点.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、已知过点 $(- \frac{6}{5} ， 0)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点.
①若直线 $l$ 垂直于 $x$ 轴，求 $∠ A Q B$ 的大小；
②若直线 $l$ 与 $x$ 轴不垂直，是否存在直线 $l$ 使得 $Δ Q A B$ 为等腰三角形？如果存在，求出直线 $l$ 的方程；如果不存在，请说明理由.

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = a (x - \frac{1}{x}) - 3 l n x$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在其定义域内为增函数，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、设函数 $g (x) = \frac{3 e}{x}$ ，若在 $[1 ， e]$ 上至少存在一点 $x_{0}$ ，使得 $f (x_{0}) > g (x_{0})$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围.

查看试题解析