湖南省衡阳市第八名校2024届高三上学期数学模拟试卷

试卷更新日期：2024-01-02 类型：高考模拟

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.

1. 设集合 $A = {x | | x | < 1}$ ，集合 $B = {x | y = \sqrt{x}}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(- 1 ， 1)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $[0 ， 1)$ D、 $(1 ， + \infty)$

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2. 已知复数z满足 $i z = - 1 + 2 i$ ，则复数 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 函数 $y = \cos 2 x + \sin (\frac{π}{2} - x)$ 的最小值为（）

A、-2 B、 $- \frac{9}{8}$ C、 $- \frac{5}{8}$ D、0

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4. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前5项和 $S_{5} = 35$ ，且满足 $a_{5} = 13 a_{1}$ ，则等差数列{a_n}的公差为（）

A、-3 B、-1 C、1 D、3

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5. 龙洗，是我国著名的文物之一，因盆内有龙纹故称龙洗，为古代皇宫盥洗用具，其盆体可以近似看作一个圆台．现有一龙洗盆高15cm，盆口直径40cm，盆底直径20cm．现往盆内倒入水，当水深6cm时，盆内水的体积近似为（）

A、 $1824 c m^{3}$ B、 $2739 c m^{3}$ C、 $3618 c m^{3}$ D、 $4512 c m^{3}$

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6. 已知 $(\frac{1}{x} + m y) {(2 x - y)}^{5}$ 的展开式中 $x^{2} y^{4}$ 的系数为80，则m的值为（）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- 1$ D、1

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7. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0 ）$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，点M是双曲线右支上一点，且 $△ O M F_{2}$ 为等边三角形，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\sqrt{3} + 1$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2} + 1$ C、 $2 (\sqrt{3} - 1)$ D、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$

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8. 设 $a = \frac{3}{103}$ ， $b = l n 1.03$ ， $c = e^{0.03} - 1$ ，则下列关系正确的是（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $c > b > a$ D、 $c > a > b$

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 立德中学举行党史知识竞赛，对全校参赛的1000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照[50，60）､[60，70）､[70，80）､[80，90）､[90，100]分成5组，绘制了如图所示的频率分布直方图，根据图中信息，下列说法正确的是（）

A、图中的x值为0.020 B、这组数据的极差为50 C、得分在80分及以上的人数为400 D、这组数据的平均数的估计值为77

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10. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | \leq \frac{3 π}{2})$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $ω = 2$ B、 $ω = \frac{26}{7}$ C、 $φ = \frac{7 π}{6}$ D、 $φ = - \frac{π}{6}$

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11. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 x$ ， $O$ 为坐标原点，一束平行于 $x$ 轴的光线 $l_{1}$ 从点 $P (m ， 2)$ 射入，经过 $C$ 上的点 $A (x_{1} ， y_{1})$ 反射后，再经过 $C$ 上另一点 $B (x_{2} ， y_{2})$ 反射后，沿直线 $l_{2}$ 射出，经过点 $Q$ ，则（）

A、 $x_{1} x_{2} = \frac{1}{4}$ B、延长 $A O$ 交直线 $x = - \frac{1}{2}$ 于点 $D$ ，则 $D$ ， $B$ ， $Q$ 三点共线 C、 $| A B | = \frac{13}{4}$ D、若 $P B$ 平分 $∠ A B Q$ ，则 $m = \frac{9}{4}$

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12. 如图，棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E ， F ， G分别是棱 $A D ， D D_{1} ， C D$ 的中点，则（）

A、直线 $A_{1} G ， C_{1} E$ 为异面直线 B、 $V_{D_{1} - B E F} = \frac{1}{3}$ C、直线 $A_{1} G$ 与平面 $A D D_{1} A_{1}$ 所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ D、过点B ， E ， F的平面截正方体的截面面积为9

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知平面向量 $\vec{a} = (- 1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (m ， - 3)$ ，若 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 共线，则 $m =$ .

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14. 六个身高不同的人排成二排三列，每一列后面的那个人比他（她）前面的那个人高，则共有种排法．

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15. 已知函数 $y = a^{x - 1} (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 的图象过定点A ，且点A在直线 $m x + 2 n y = 8 (m > 0 ， n > 0)$ 上，则 $\frac{8}{m n} - \frac{3}{2 m}$ 的最小值是.

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16. 如图，已知抛物线C： $y^{2} = 2 x$ ，圆E： ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ ，直线OA ， OB分别交抛物线于A ， B两点，且直线OA与直线OB的斜率之积等于 $- 2$ ，则直线AB被圆E所截的弦长最小值为．

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四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.

17. 在① $c o s A = \frac{2 c - a}{2 b}$ ， ② $b c o s C = (2 a - c) c o s B$ 中任选一个作为已知条件，补充在下列问题中，并作答．
问题：在 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，已知 ▲ ．

(1)、求B；

(2)、若 $△ A B C$ 的外接圆半径为2，且 $c o s A c o s C = - \frac{1}{8}$ ，求ac ．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 满足 $a_{1} = 9$ ， $a_{n + 1} = 10 a_{n} + 9$ ， $b_{n} = a_{n} + 1$ .

(1)、证明： ${b_{n}}$ 是等比数列；

(2)、求数列 ${{(- 1)}^{n} \lg b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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19. 某市航空公司为了解每年航班正点率 $x %$ 对每年顾客投诉次数 $y$ （单位：次）的影响，对近8年（2015年～2022年）每年航班正点率 $x %$ 和每年顾客投诉次数 $y$ 的数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值.
$\sum_{i = 1}^{8} x_{i}$
$\sum_{i = 1}^{8} y_{i}$
$\sum_{i = 1}^{8} x_{i} y_{i}$
$\sum_{i = 1}^{8} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}$
$600$
$592$
$43837.2$
$93.8$

(1)、求 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程；

(2)、该市航空公司预计2024年航班正点率为 $84 %$ ，利用（1）中的回归方程，估算2024年顾客对该市航空公司投诉的次数；

(3)、根据数据统计，该市所有顾客选择乘坐该航空公司航班的概率为 $\frac{1}{2}$ ，现从该市所有顾客中随机抽取4人，记这4人中选择乘坐该航空公司航班的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望.
附：经验回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
$\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} ， \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$

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20. 如图所示，在梯形ABCD中， $A B / / C D$ ， $∠ B C D = 120 °$ ，四边形ACFE为矩形，且 $C F ⊥$ 平面ABCD ， $A D = C D = B C = C F$ ．

(1)、求证： $E F ⊥$ 平面BCF；

(2)、点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成的锐二面角为 $\frac{π}{3}$ ．

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $E (\sqrt{2} ， \frac{3 \sqrt{2}}{2})$ ，左顶点为 $D$ ，右焦点为 $F$ ，已知点 $P (0 ， \sqrt{2})$ ，且 $D$ ， $P$ ， $E$ 三点共线．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、已知经过点 $P$ 的直线l与椭圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，过点 $B$ 作直线 $y = 3 \sqrt{2}$ 的垂线，垂足为 $G$ ，求证：直线 $A G$ 过定点．

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22. 已知函数 $f (x) = l n x + (m - e) x - 1$ （ $m \in R$ ， $e \approx 2.718281 … …$ ）

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若关于x的不等式 $f (x) - x e^{x} + 2 \leq 0$ 恒成立，求实数m的取值范围．

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$\sum_{i = 1}^{8} x_{i}$	$\sum_{i = 1}^{8} y_{i}$	$\sum_{i = 1}^{8} x_{i} y_{i}$	$\sum_{i = 1}^{8} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}$
$600$	$592$	$43837.2$	$93.8$