云南省大理州、怒江州重点中学2023-2024学年高三上学期数学第一次联合模拟试卷

试卷更新日期：2024-01-02 类型：高考模拟

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一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 若集合 $A = {x | \frac{1}{x} > 1} ， B = {x | \sqrt{x} \geq \frac{1}{2}}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | \frac{1}{4} \leq x < 1}$ B、 ${x | \frac{\sqrt{2}}{2} \leq x < 1}$ C、 ${x | x < 1}$ D、 $\emptyset$

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2. 已知 $\frac{i}{z} = 1 + i$ （其中 $i$ 为虚数单位），若 $\bar{z}$ 是 $z$ 的共轭复数，则 $z - \bar{z} =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- i$ D、i

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3. 在 $(1 + x) + (1 + x)^{2} + \cdot \cdot \cdot + (1 + x)^{6}$ 的展开式中，含 $x^{5}$ 的项的系数是（）

A、5 B、6 C、7 D、11

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4. 若函数 $f (x) = x^{2} s i n (2 x + φ) (0 < φ < 2 π)$ 的图象关于原点对称，则 $φ =$ （）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $π$ D、 $\frac{3 π}{2}$

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5. 已知椭圆的两个焦点为 $F_{1} (- \sqrt{5} ， 0)$ ， $F_{2} (\sqrt{5} ， 0)$ ， $M$ 是椭圆上一点，若 $M F_{1} ⊥ M F_{2}$ ， $M F_{1} \cdot M F_{2} = 8$ ，则该椭圆的方程是（）

A、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{7} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{7} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

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6. 已知 $f (x)$ 为偶函数，且在 $(- \infty ， 0]$ 上为增函数， $f (2) = 0$ ，满足不等式 $f (1 - x) < 0$ 的x取值范围是（）

A、 $(- 1 ， 3)$ B、 $(- 3 ， 1)$ C、 $(- \infty ， - 1) ∪ (3 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 3) ∪ (1 ， + \infty)$

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7. 已知 $t a n α = 2$ ，则 $\frac{1 + c o s 2 α}{s i n 2 α} =$ （）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- 2$ D、 $- \frac{1}{2}$

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8. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{2} a_{5} = 2 a_{3}$ ， $2 a_{4} + 4 a_{7} = 5$ ，则 $S_{5} =$ （）

A、29 B、31 C、33 D、36

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二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。）

9. 有一组样本数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $\cdot \cdot \cdot$ ， $x_{n}$ ，由这组数据得到新样本数据 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $\cdot \cdot \cdot$ ， $y_{n}$ ，其中 $y_{i} = x_{i} + c (i = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， n)$ ， c为非零常数，则（）

A、两组样本数据的样本平均数相同 B、两组样本数据的样本中位数相同 C、两组样本数据的样本标准差相同 D、两组样本数据的样本极差相同

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10. 已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则下列结论正确的是（）

A、正四棱锥的体积为 $\frac{16}{3}$ B、正四棱锥的侧面积为16 C、外接球的表面积为 $\frac{81 π}{4}$ D、外接球的体积为 $\frac{243 π}{16}$

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11. 已知F是抛物线C： $x^{2} = 2 y$ 的焦点，A ， B是抛物线C上的两点，O为坐标原点，则（）

A、若 $A F ⊥ y$ 轴，则 $| A F | = 1$ B、若 $| A F | = 2$ ，则 $△ A O F$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $A B$ 长度的最小值为2 D、若 $∠ A O B = 90 °$ ，则 $| O A | \cdot | O B | \geq 8$

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12. 设函数 $f (x) = \frac{l n x}{e^{x}}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 没有零点 B、当 $x \in (0 ， 1)$ 时， $f (x)$ 的图像位于 $x$ 轴下方 C、 $f (x)$ 存在单调递增区间 D、 $f (x)$ 有且仅有两个极值点

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三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 若向量 $\vec{a} = (4 ， 0)$ ， $\vec{b} = (1 ， \sqrt{3})$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量坐标为.

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14. 某品牌手机的电池使用寿命 $X$ （单位：年）服从正态分布，且使用寿命不少于1年的概率为 $0.9$ ，使用寿命不少于9年的概率为 $0.1$ ，则该品牌手机的电池使用寿命不少于5年且不多于9年的概率为.

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15. 已知点 $P (x ， y)$ 是直线 $k x + y + 4 = 0 (k > 0)$ 上一动点， $P A$ ， $P B$ 是圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 2 y = 0$ 的两条切线， $A$ ， $B$ 为切点，若四边形 $P A C B$ 的最小面积是2，则 $k$ 的值为.

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16. 在棱长为 $1$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 是底面 $A_{1}^{} B_{1}^{} C_{1}^{} D_{1}^{}$ 内动点，且 $B M / /$ 平面 $A D_{1} C$ ，当 $∠ D_{1} M D$ 最大时，三棱锥 $M - A D_{1} C$ 的体积为．

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四、解答题（共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 在 $△ A B C$ 中，已知角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $2 a s i n B c o s C + 2 c c o s A s i n B = \sqrt{3} b$

(1)、求角 $B$ 的大小 $；$

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $c = 2 a$ ， $b = 1$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，数列 ${\frac{S_{n}}{n}}$ 是首项为 $\frac{1}{2}$ ，公差为 $\frac{1}{4}$ 的等差数列，若 $[x]$ 表示不超过x的最大整数，如 $[0.5] = 0$ ， $[\lg 499] = 2$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = [\lg a_{n}]$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前2020项的和.

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19. 已知在多面体 $A B C D E$ 中， $D E / / A B$ ， $A C ⊥ B C$ ， $B C = 2 A C = 4$ ， $A B = 2 D E$ ， $D A = D C$ ，且平面 $D A C ⊥$ 平面 $A B C$ .

(1)、设点 $F$ 为线段 $B C$ 的中点，试证明 $E F ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、 $B E$ 与平面 $A B C$ 所成的角为 $60 °$ ，求二面角 $B - A D - C$ 的余弦值.

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20. 为了促进学生德、智、体、美、劳全面发展，某校成立了生物科技小组，在同一块试验田内交替种植 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三种农作物（该试验田每次只能种植一种农作物），为了保持土壤肥度，每种农作物都不连续种植，共种植三次.在每次种植 $A$ 后，会有 $\frac{1}{3}$ 的可能性种植 $B$ ， $\frac{2}{3}$ 的可能性种植 $C$ ；在每次种植 $B$ 的前提下再种植 $A$ 的概率为 $\frac{1}{4}$ ，种植 $C$ 的概率为 $\frac{3}{4}$ ，在每次种植 $C$ 的前提下再种植 $A$ 的概率为 $\frac{2}{5}$ ，种植 $B$ 的概率为 $\frac{3}{5}$ .

(1)、在第一次种植 $B$ 的前提下，求第三次种植 $A$ 的概率；

(2)、在第一次种植 $A$ 的前提下，求种植 $A$ 作物次数 $X$ 的分布列及期望.

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21. 已知函数 $f (x) = l n x - a x (a \in R)$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、证明不等式 $e^{x - 2} - a x \geq f (x)$ 恒成立.

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22. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为 $F (2 ， 0)$ ，过点 $F$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的右支相交于 $M$ ， $N$ 两点，点 $M$ 关于 $y$ 轴对称的点为 $P$ .当 $\vec{M N} \cdot \vec{M P} = 0$ 时， $| M N | = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、若 $△ M N P$ 的外心为 $Q$ ，求 $\frac{| Q F |}{| M N |}$ 的取值范围.

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