贵州省黔东南苗族侗族自治州2024届高三12月数学统测（一模）试卷

试卷更新日期：2024-01-02 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知复数 $z_{1} = 12 - 3 i$ ， $z_{2} = - 9 + i$ ，则 $z_{1} + z_{2}$ 的实部与虚部分别为（）

A、 $3$ ， $- 2$ B、 $3$ ， $- 2 i$ C、 $2$ ， $- 3$ D、 $2$ ， $- 3 i$

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2. 设集合 $A = {x | l g (x + 1) \leq \frac{1}{2}}$ ， $B = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3}$ B、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ C、 ${0 ， 1 ， 2}$ D、 ${0 ， 1}$

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3. 若某等差数列的前3项和为27，且第3项为5，则该等差数列的公差为（）

A、 $- 3$ B、 $- 4$ C、3 D、4

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4. 若 $α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $c o s 2 α = - \frac{3}{5}$ ，则 $\frac{2 s i n (π - α) + s i n (\frac{π}{2} + α)}{c o s (π + α) + c o s (\frac{3 π}{2} + α)} =$ （）

A、3 B、 $- 3$ C、5 D、 $\frac{5}{3}$

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5. 若平面 $α$ ， $β$ 截球 $O$ 所得截面圆的面积分别为 $2 π$ ， $3 π$ ，且球心 $O$ 到平面 $α$ 的距离为3，则球心 $O$ 到平面 $β$ 的距离为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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6. 已知 $f (x)$ 是奇函数，且在 $[0 ， + \infty)$ 上单调递减，则下列函数既是奇函数，又在 $(- \infty ， 0)$ 上单调递增的是（）

A、 $g (x) = f (x) - f (- x)$ B、 $g (x) = f (x) + f (- x)$ C、 $g (x) = f (2^{x} - 2^{- x})$ D、 $g (x) = f (- x) - f (x)$

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7. 已知贵州某果园中刺梨单果的质量 $M$ （单位： $g$ ）服从正态分布 $N (30 ， σ^{2})$ ，且 $P (M < 28) = 0.2$ ，若从该果园的刺梨中随机选取100个单果，则质量在 $28 g ~ 32 g$ 的单果的个数的期望为（）

A、20 B、60 C、40 D、80

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8. $P$ 是抛物线 $y^{2} = 6 x$ 上异于坐标原点 $O$ 的一点，点 $Q$ 在 $x$ 轴上， $O P ⊥ P Q$ ， $F$ 为该抛物线的焦点，则 $\vec{P F} \cdot \vec{P Q} =$ （）

A、12 B、11 C、10 D、9

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 若函数 $f (x) = 2 s i n (\frac{π}{5} x - \frac{π}{4})$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为10 B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{4}{5} ， 0)$ 对称 C、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{25}{4})$ 上有最小值 D、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{15}{4}$ 对称

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10. 在正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 3$ ， $A_{1} B_{1} = 2$ ， $A A_{1} = \sqrt{2}$ ，则（）

A、该正四棱台的体积为 $\frac{19 \sqrt{2}}{6}$ B、直线 $A A_{1}$ 与底面 $A B C D$ 所成的角为 $60 °$ C、线段 $A_{1} C$ 的长为 $\sqrt{14}$ D、以 $A_{1}$ 为球心，且表面积为 $6 π$ 的球与底面 $A B C D$ 相切

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11. 已知 $P$ 是圆 $C ： x^{2} + y^{2} = 1$ 上一点， $Q$ 是圆 $D ： (x - 3)^{2} + (y + 4)^{2} = 4$ 上一点，则（）

A、 $| P Q |$ 的最小值为2 B、圆 $C$ 与圆 $D$ 有4条公切线 C、当 $| P Q |$ 取得最小值时，点 $P$ 的坐标为 $(\frac{4}{5} ， - \frac{3}{5})$ D、当 $| P Q | = 1 + \sqrt{21}$ 时，点 $D$ 到直线 $P Q$ 的距离小于2

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12. 已知函数 $f (x) = | l o g_{2} | x | |$ ， $x \in (- 1 ， 0) ∪ (0 ， 4]$ .若关于 $x$ 的方程 $f (x) = a$ 有3个实数解 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则（）

A、 $x_{1} x_{2} x_{3}$ 的取值范围是 $(- 1 ， - \frac{1}{4}]$ B、 $x_{1} + x_{2} + x_{3}$ 的取值范围是 $(1 ， 4]$ C、 $x_{2} + 4 x_{3}$ 的最小值为4 D、 $| \frac{1}{x_{1} x_{3}} + \frac{1}{x_{1} x_{2}} | + \frac{16}{x_{3}}$ 的最小值是13

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. ${(\frac{1}{2} - 2 y)}^{7}$ 的展开式中， $y^{3}$ 的系数为.

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14. 向量 $\vec{A B} = (2 ， 1)$ 在向量 $\vec{A C} = (0 ， \frac{1}{2})$ 上的投影向量为 $λ \vec{A C}$ ，则 $| \vec{A B} + λ \vec{A C} | =$ .

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15. 烧水时，水温随着时间的推移而变化.假设水的初始温度为 $20$ ℃，加热后的温度函数 $T (t) = 100 - k e^{- 0.1 t}$ （ $k$ 是常数， $t$ 表示加热的时间，单位： $m i n$ ），加热到第 $10 m i n$ 时，水温的瞬时变化率是℃/ $m i n$ .

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16. 过双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点 $F_{2}$ 作 $C$ 的一条渐近线的垂线，垂足为 $A$ ，且 $C$ 的左顶点为 $B$ ， $| A B | = \frac{2 a b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ ，则 $C$ 的离心率为.

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 为了了解贵州省大学生是否关注原创音乐剧与性别有关，某大学学生会随机抽取1000名大学生进行统计，得到如下 $2 \times 2$ 列联表：

男大学生
女大学生
合计
关注原创音乐剧
250
300
550
不关注原创音乐剧
250
200
450
合计
500
500
1000

(1)、从关注原创音乐剧的550名大学生中任选1人，求这人是女大学生的概率.

(2)、试根据小概率值 $α = 0.005$ 的独立性检验，能否认为是否关注原创音乐剧与性别有关联？说明你的理由.
附： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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18. $△ A B C$ 的内角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，且 $\sqrt{3} b c o s A + a s i n B = \sqrt{3} c$ .

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $a + 2 c = 6$ ，求 $b$ 的最小值.

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19. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B = 4$ ， $B C = 2$ ， $A C = P A = P B = 2 \sqrt{5}$ ， D ， E分别为 $P C$ ， $P A$ 的中点.

(1)、证明：平面 $B C E ⊥$ 平面 $P A B$ .

(2)、求平面 $P B C$ 与平面 $B D E$ 的夹角的余弦值.

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20. 已知 $S_{n}$ 为等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{1} = 1$ ，且 $S_{3} = 3 S_{2} - a_{2}$ ， $b_{n} = (n - 1) a_{n + 1} + (1 - 2 n) a_{n}$ .

(1)、若 ${| b_{n} |}$ 为等差数列，求数列 ${| b_{n} |}$ 的通项公式；

(2)、若 ${| b_{n} |}$ 为等比数列， $T_{n} = | b_{1} | + 2 | b_{2} | + 3 | b_{3} | + ⋯ + n | b_{n} |$ ，求 $T_{n}$ .

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21. 已知点 $F_{1} (- 1 ， 0)$ ， $F_{2} (1 ， 0)$ ，动点 $M$ 满足 $| M F_{1} | + | M F_{2} | = 4$ ，动点 $M$ 的轨迹记为 $E$ .

(1)、求 $E$ 的方程.

(2)、若不垂直于 $x$ 轴的直线 $l$ 过点 $F_{2}$ ，与 $E$ 交于C ， D两点（点C在x轴的上方）， $A_{1}$ ， $A_{2}$ 分别为 $E$ 在 $x$ 轴上的左、右顶点，设直线 $A_{1} C$ 的斜率为 $k_{1} (k_{1} \neq 0)$ ，直线 $A_{2} D$ 的斜率为 $k_{2}$ ，试问 $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} + c o s x - \frac{1}{3} x^{3} - x$ .

(1)、当 $x \in [3 ， + \infty)$ 时，证明： $f (x) < f^{'} (x)$ .

(2)、试问 $x = 0$ 是否为 $f (x)$ 的极值点？说明你的理由.

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	男大学生	女大学生	合计
关注原创音乐剧	250	300	550
不关注原创音乐剧	250	200	450
合计	500	500	1000

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828