贵州省遵义市2023-2024学年高三上学期数学第一次质量监测统考试卷

试卷更新日期：2024-01-02 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若集合 $A = {(x ， y) ∣ y = - x^{2}} ， B = {(x ， y) ∣ y = - x - 2}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${(- 1 ， - 1) ， (2 ， - 4)}$ B、 ${(- 2 ， - 4) ， (1 ， - 1)}$ C、 ${2 ， - 4}$ D、 ${2 ， - 1}$

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2. 若复数 $z$ 满足 $z \cdot (1 - i) = 2 + 3 i$ ，则复数 $z$ 的虚部是（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2} i$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{5}{2} i$

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3. 已知 $a ， b ， x$ 均为实数，下列不等式恒成立的是（）

A、若 $a < b$ ，则 $a^{2024} < b^{2024}$ B、若 $a < b$ ，则 $\frac{2024}{a} < \frac{2024}{b}$ C、若 $a x^{2024} < b x^{2024}$ ，则 $a < b$ D、若 $a < b$ ，则 $a x^{2024} < b x^{2024}$

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4. 若 $c o s (\frac{π}{4} + α) = \frac{1}{3}$ ，则 $s i n (\frac{π}{4} - α) =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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5. 若函数 $f (x) = e^{x^{2} - a x}$ 在区间 $(1 ， 3)$ 上单调递增，则 $a$ 的可能取值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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6. 今年 $8$ 月 $24$ 日，日本不顾国际社会的强烈反对，将福岛第一核电站核污染废水排入大海，对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究，福岛核污水中的放射性元素有 $21$ 种半衰期在 $10$ 年以上；有 $8$ 种半衰期在 $1$ 万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度 $c (B q / L)$ 与时间 $t$ （年）近似满足关系式 $c = k \cdot a^{t} (k ， a$ 为大于 $0$ 的常数且 $a \neq 1)$ .若 $c = \frac{1}{6}$ 时， $t = 10$ ；若 $c = \frac{1}{12}$ 时， $t = 20$ .则据此估计，这种有机体体液内该放射性元素浓度 $c$ 为 $\frac{1}{120}$ 时，大约需要（）（参考数据： $l o g_{2} 3 \approx 1.58 ， l o g_{2} 5 \approx 2.32$ ）

A、 $43$ 年 B、 $53$ 年 C、 $73$ 年 D、 $120$ 年

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7. 将函数 $f (x) = s i n (x + \frac{5}{12} π)$ 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，再将所得的函数图象向右平移 $\frac{π}{24}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象；则 $g (\frac{π}{8}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$ D、 $\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

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8. 若 $a = t a n 1.1 ， b = 1 + l n 1.1 ， c = \sqrt{1.1}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $b > a > c$ B、 $a > c > b$ C、 $c > b > a$ D、 $a > b > c$

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二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列说法正确的是（）

A、若 $s i n α = s i n β$ ，则 $α$ 与 $β$ 是终边相同的角 B、若角 $α$ 的终边过点 $P (3 k ， 4 k) (k \neq 0)$ ，则 $s i n α = \frac{4}{5}$ C、若扇形的周长为3，半径为1，则其圆心角的大小为1弧度 D、若 $s i n α \cdot c o s α > 0$ ，则角 $α$ 的终边在第一象限或第三象限

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10. 对于任意实数 $x$ ，函数 $f (x)$ 满足：当 $n - \frac{1}{2} \leq x < n + \frac{1}{2}$ 时， $f (x) = n (n \in Z)$ .下列关于函数 $f (x)$ 的叙述正确的是（）

A、 $f (2023) = 2023$ B、 $f (x)$ 是奇函数 C、 $\forall x \in R ， f (x - 2) = f (x) - 2$ D、 $\exists x ， y \in R$ ，使得 $f (x + y) < f (x) + f (y)$

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11. 已知 $a > 0 ， b > 0$ ，且 $3 a + 2 b = 1$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $a b \leq \frac{1}{24}$ B、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 5 + 2 \sqrt{6}$ . C、 $a + b$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ D、 $\sqrt{a} + \sqrt{b} \leq \frac{\sqrt{30}}{6}$

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12. 数学家切比雪夫曾用一组多项式阐述余弦的 $n$ 倍角公式，即 $c o s n x = T_{n} (c o s x)$ ，称为第一类切比雪夫多项式.第一类切比雪夫多项式的前几项为： $T_{0} (x) = 1 ， T_{1} (x) = x ， T_{2} (x) = 2 x^{2} - 1 ， T_{3} (x) = 4 x^{3} - 3 x ， T_{4} (x) = 8 x^{4} - 8 x^{2} + 1 ， T_{5} (x) = 16 x^{5} - 20 x^{3} + 5 x ， ⋯$ ，探究上述多项式，下列选项正确的是（）

A、 $c o s 3 x = 4 c o s^{3} x - 3 c o s x$ B、 $T_{6} (x) = 32 x^{6} - 48 x^{4} + 18 x^{2} - 1$ C、 $s i n 1 8^{∘} = \frac{\sqrt{5} - 2}{4}$ D、 $c o s 3 6^{∘} = \frac{\sqrt{5} + 1}{4}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 命题 $p ： \exists x_{0} \in R ， {x_{0}}^{2} - m x_{0} + m + 3 < 0$ ，则命题 $p$ 的否定为.

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14. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} l o g_{\frac{1}{2}} x ， x < 1 \\ 2^{x - 1} ， x \geq 1 \end{array}$ ，则不等式 $f (x) > 2$ 的解集为.

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15. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左焦点为 $F_{1} (- c ， 0)$ ，坐标原点为 $O$ ，若在双曲线右支上存在一点 $P$ 满足 $| P F_{1} | = \sqrt{3} c$ ，且 $| P O | = c$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为.

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{x + 1}{e^{x}} ， x \leq 0 \\ x^{2} - x ， x > 0 \end{array}$ ，若关于 $x$ 的不等式 $f^{2} (x) + a f (x) < 0$ 恰有一个整数解，则实数 $a$ 的取值范围为.

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $y = f (2 x) - m$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{3}]$ 上恰有两个零点 $x_{1} ， x_{2}$ ，求 $x_{1} + x_{2}$ 的值.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} ， a_{1} = 1$ ，且当 $n \geq 2$ 时， $2 S_{n} = (n + 1) a_{n} - 2$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足： $b_{n} = \frac{2}{(n + 1) a_{n}}$ ，求 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 函数 $f (x) = a x^{3} - 3 x (a \neq 0)$ ，其一条切线的方程为 $y = 9 x + 16$ .

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、令 $g (x) = f (x) - 3 k x^{2} + 6 x + 1 (k > 0)$ ，若 $g (x)$ 有两个不同的极值点 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $g (x_{1}) + g (x_{2}) \leq 2$ ，求实数 $k$ 的取值范围.

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20. 某学校现有1000名学生，为调查该校学生一周使用手机上网时间的情况，收集了 $n$ 名学生某周使用手机上网时间的样本数据（单位：小时）.将数据分为6组： $[0 ， 2] ， (2 ， 4] ， (4 ， 6] ， (6 ， 8] ， (8 ， 10] ， (10 ， 12]$ ，并整理得到如下的频率分布直方图：
附： $K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ .
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.1
0.05
0.010
0.005
0.001
$k_{0}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

(1)、估计该校学生一周平均使用手机上网时间（每组数据以该组中点值为代表）；

(2)、将一周使用手机上网时间在 $(4 ， 12]$ 内定义为“长时间使用手机上网”；一周使用手机上网时间在 $(0 ， 4]$ 内定义为“不长时间使用手机上网”，在样本数据中，有 $0.25 n$ 名学生不近视.请补充完成该周使用手机上网时间与近视程度的列联表，若有 $99.9 %$ 以上的把握认为“该校学生一周使用手机上网时间与近视程度有关”.那么本次调查的人数至少有多少？

近视
不近视
合计
长时间使用手机

不长时间使用手机

$0.15 n$

合计

$0.25 n$

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21. 已知 $F_{1} (- c ， 0) ， F_{2} (c ， 0)$ 为椭圆 $E$ 的两个焦点， $A$ 为椭圆 $E$ 上异于左､右顶点的任意一点， $△ A F_{1} F_{2}$ 的周长为6，面积的最大值为 $\sqrt{3}$ ：

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、直线 $A F_{1}$ 与椭圆 $E$ 的另一交点为 $B$ ，与 $y$ 轴的交点为 $M$ .若 $\vec{M A} = λ_{1} \vec{A F_{1}}$ ， $\vec{M B} = λ_{2} {\vec{B F}}_{1}$ .试问： $λ_{1} + λ_{2}$ 是否为定值？并说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{s i n x}{e^{x}}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $(0 ， 3)$ 上的单调区间；

(2)、若 $x \geq 0$ 时， $f (x) \leq a l n (x + 1)$ ，求实数 $a$ 取值范围.

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$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.1	0.05	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

	近视	不近视	合计
长时间使用手机
不长时间使用手机		$0.15 n$
合计		$0.25 n$