四川省乐山市2024届高三上学期数学（文科）12月第一次调研考试试卷

试卷更新日期：2024-01-02 类型：高考模拟

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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设全集 $U = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ，集合 $A = {1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ， $B = {0 ， 2}$ ，则 $(∁_{U} A) ∩ B =$ （）

A、 ${0}$ B、 ${2}$ C、 ${0 ， 2}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 2}$

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2. 已知复数 $z = \frac{1}{{(1 - i)}^{2}}$ ，则复数 $z i + i$ 的实部为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、1 D、 $- 1$

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3. 执行右边的程序框图，则输出的 $B =$ （）

A、 $- 5$ B、7 C、0 D、2

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4. 如图是某几何体的三视图，其中主视图和左视图是两个全等的正方形，且边长为2，俯视图是直径为2的圆，则这个几何体的侧面积为（）

A、 $π$ B、 $2 π$ C、 $3 π$ D、 $4 π$

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5. 已知 $c o s (\frac{π}{2} + α) = 2 c o s α$ ，则 $t a n α + t a n 2 α =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{11}{6}$ C、 $- \frac{2}{3}$ D、 $- \frac{11}{6}$

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6. 对四组数据进行统计，获得如下散点图，关于其相关系数的比较，说法正确的是（）

A、 $r_{4} < r_{2} < 0 < r_{1} < r_{3}$ B、 $r_{2} < r_{4} < 0 < r_{3} < r_{1}$ C、 $r_{2} < r_{4} < 0 < r_{1} < r_{3}$ D、 $r_{4} < r_{2} < 0 < r_{3} < r_{1}$

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7. 3个0和2个1随机排成一行，则2个1不相邻的概率为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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8. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ，若 $S_{3} = 9$ ， $S_{6} = 36$ ，则 $a_{7} + a_{8} + a_{9} =$ （）

A、18 B、27 C、45 D、63

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9. 函数 $f (x) = \frac{3^{- x} - 3^{x}}{x^{2}}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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10. 地处长江上游的四川省乐山市，多年来始终树立上游意识，落实上游责任，不断提升水环境治理体系和治理能力现代化水平，为守护好这一江清水作出乐山贡献（摘自：人民网四川频道）。为了解过滤净化原理，某中学科创实践小组的学生自制多层式分级过滤器，用于将含有沙石的大渡河河水进行净化。假设经过每一层过滤可以过滤掉五分之一的沙石杂质，若要使净化后河水中沙石杂质含量不超过最初的三分之一，则最少要经过多少层的过滤？（参考数据： $l g 2 \approx 0.30$ ， $l g 3 \approx 0.48$ ）

A、7 B、6 C、5 D、4

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11. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ)$ （其中 $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）在 $x = \frac{π}{6}$ 时取最大值，两条对称轴之间的最小距离为 $π$ ，则直线 $l ： y = - x + \frac{2 π}{3}$ 与曲线 $y = f (x)$ 的交点个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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12. 已知函数 $f (x)$ 定义域为R，且满足 $f (0) = 0$ ， $f (- x) = f (x)$ ， $f (1 - t) - f (1 + t) + 4 t = 0$ ，给出以下四个命题：
① $f (- 1) = f (3)$ ② $f (x + 2) = f (x)$
③ $f (4) = 64$ ④函数 $y = f (x) - 2 x$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称
其中正确命题的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.

13. 命题“ $\exists x \in Z$ ， $x^{2} = 2 x$ ”的否定是.

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14. 曲线 $y = e^{x}$ 在 $x = 1$ 处的切线方程为.

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15. 若一个正三棱锥底面边长为1，高为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，其内切球的表面积为.

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16. 已知正六边形ABCDEF边长为2，MN是正六边形ABCDEF的外接圆的一条动弦， $M N = 2$ ， P为正六边形ABCDEF边上的动点，则 $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ 的最小值为.

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三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.

17. 为吸引更多优秀人才来乐山干事创业，2023年10月27日，乐山市招才引智系列活动——教育人才专场在西南大学北碚校区招聘大厅举行，其中，甲、乙两名大学生参加了面试，10位评委打分如茎叶图所示：

(1)、写出甲得分的中位数和乙得分的众数；

(2)、现有两种方案评价选手的最终得分：
方案一：直接用10位评委评分的平均值；
方案二：将10位评委评分去掉一个最低分和一个最高分之后，取剩下8个评分的平均值.请分别用以上两种方案计算两位同学的最终得分，并判断哪种评价方案更好？为什么？

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $2 n a_{n + 1} = (n + 1) a_{n}$ ，设 $b_{n} = \frac{a_{n}}{n}$ .

(1)、求 $b_{1}$ ， $b_{2}$ ， $b_{3}$ ；

(2)、判断数列 ${b_{n}}$ 是否为等比数列，并说明理由；

(3)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式.

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是边长为2的正方形， $P D ⊥$ 底面ABCD ， $P D = λ C D$ ，点E在棱PC上， $P A ∥$ 平面EBD.

(1)、试确定点E的位置，并说明理由；

(2)、是否存在实数 $λ$ ，使三棱锥 $E - B P D$ 体积为 $\frac{2}{3}$ .

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20. 在平面四边形ABCD中，已知 $∠ B A D = 3 ∠ B C D$ ， $A B = 2$ ， $A D = \sqrt{2}$ ， $B D = \sqrt{10}$ .

(1)、若 $∠ B D C = \frac{5 π}{12}$ ，求CD；

(2)、求 $△ B C D$ 面积的最大值.

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21. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} x$ ， $g (x) = a^{x}$ ，其中实数 $a > 1$ .

(1)、当 $a = e$ 时，求 $h (x) = \frac{x}{g (x)}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上的单调区间和极值；

(2)、若方程 $g (x) - \frac{f (x)}{x} = 1$ 有两个零点，求实数a的取值范围.
请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，已知圆 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 + 2 c o s α \\ y = 1 + 2 s i n α \end{array}$ （ $α$ 为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)、求 $C_{1}$ 的极坐标方程；

(2)、若直线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $θ = \frac{π}{4} (ρ \in R)$ ，设 $C_{2}$ 与 $C_{1}$ 的交点为P ， Q ，求 $△ C_{1} P Q$ 的面积.

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23. 已知 $f (x) = 2 | x - a | - x + a$ ， $a > 0$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 与直线 $y = a$ 围成的图形面积为 $\frac{8}{3}$ ，求a的值；

(2)、求不等式 $f (x) > x$ 的解集.

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