江西省2024届高三上学期数学第一次大联考试卷

试卷更新日期：2024-01-02 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 已如集合 $M = | - 3 ， - 2 ， - 1 ， 4 ， 5 |$ ， $N = | x | x^{2} - 3 x - 4 \leq 0 ∣$ ，则 $M ∩ N =$ （）

A、 $[- 1 ， 4]$ B、 ${- 1 ， 4}$ C、 $| - 3 ， - 2 ， - 1 |$ D、 $| - 3 ， - 2 ， 5 |$

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2. 若复数z满足 $\frac{(1 - i) z}{i} = 2 i - 3$ ，则z的虚部为（）

A、 $- \frac{5}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{5}{2} i$

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3. 已知直线l是曲线 $f (x) = 2 x - c o s x + 2$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线，则直线l在x轴上的截距为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、3

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4. 在平面直角坐标系xOy中，锐角 $θ$ 的大小如图所示，则 $\frac{s i n 2 θ}{2 c o s^{2} θ - 3 s i n^{2} θ} =$ （）

A、-2 B、2 C、 $\frac{5}{2}$ D、3

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5. 光岳楼位于山东聊城古城中央，主体结构建于明洪武七年（13年），它是迄今为止全国现存古代建筑中最古老、最雄伟的木构楼阁之一，享有“虽黄鹤、岳阳亦当望拜”之誉，光岳楼的墩台为砖石砌成的正四棱台，如图所示，该墩台上底面边长约为32m，下底面边长约为34.5m，高约为9m，则该墩台的斜高约为（）(参考数据： $\sqrt{1321} \approx 36.35$ )

A、9.1m B、10.9m C、11.2m D、12.1m

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6. 已知各项均为正数的数列 $| a_{n} |$ 满足 $a_{n} a_{n + 1} = (s i n α)^{n} (0 < α \leq \frac{π}{2})$ ，且数列 $| a_{*} |$ 的前n项积为 $T_{n}$ ，则下列结论错误的是（）

A、若 $α = \frac{π}{2}$ ，则 $T_{100} = 1$ B、若 $α = \frac{π}{6}$ ，则 $a_{9} = \frac{a_{1}}{16}$ C、存在 $α$ 及正整数k ，使得 $a_{2 k + 1} > a_{2 k - 1}$ D、若 $| a_{a} |$ 为等比数列，则 $a_{1} = \sqrt[4]{s i n α}$

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7. 已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，且对任意的 $0 < m < n$ ，都有 $\frac{f (m) - f (n)}{m - n} < 0$ ，且 $f (4) = 0$ ，则不等式 $\frac{f (- x - 2) - f (x + 2)}{x} > 0$ 的解集为（）

A、 $(- 6 ， 0)$ B、 $(- \infty ， - 6) ∪ (2 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 6) ∪ (0 ， 2)$ D、 $(- \infty ， - 6) ∪ (- 2 ， 0) ∪ (2 ， + \infty)$

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8. 已知 $a = l n 1.2$ ， $b = e^{a 2 s} - 1$ ， $c = \frac{1}{6}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $c < a < b$ D、 $a < c < b$

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二、多项选择题

9. 已知 $a < b < 0 < c < d$ ，则下列不等式一定正确的是（）

A、 $a + b < c + d$ B、 $a c < b c$ C、 $a b < c d$ D、 $\frac{a}{c} < \frac{a}{d}$

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10. 为庆祝江西籍航天员邓清明顺利从太空返航，邓清明家乡的某所中学举办了一场“我爱星辰大海”航天知识竞赛，满分100分，该校高一（1）班代表队6位参赛学生的成绩（单位：分）分别为：84，100，91，95，95，98，则关于这6位参赛学生的成绩，下列说法正确的是（）

A、众数为95 B、中位数为93
C、平均成绩超过93分 D、25%分位数是91

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11. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = A C = B C = 1$ ， $A C ⊥ B C$ ，则（）

A、 $A_{1} B_{1} / /$ 平面 $A B C_{1}$ B、平面 $A_{1} B C ⊥$ 平面 $A B C_{1}$ C、异面直线AC与A ， B所成的角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、点 $A_{1}$ ， A ， B ， C均在半径为 $\sqrt{3}$ 的球面上

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12. 加斯帕尔·蒙日（图1）是18-19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆（图2）.已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点P ， Q均在C的蒙日圆O上，PA ， PB分别与C相切于A ， B ，则下列说法正确的是（）

A、C的蒙日圆方程是 $x^{2} + y^{2} = 4$ B、设 $N (1 ， 1)$ ，则 $| A N | + | A F_{2} |$ 的取值范围为 $[4 - \sqrt{5} ， 4 + \sqrt{5}]$ C、若点P在第一象服的角平分线上，则直线AB的方型为 $3 \sqrt{14} x + 4 \sqrt{14} y - 24 = 0$ D、若直线PQ过原点O ，且与C的一个交点为G ， $| G F_{1} | \cdot | G F_{2} | = 3$ ，则 $| G P | \cdot | G Q | = 4$

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三、填空题

13. 已知直角三角形OAB的斜边为AB ，向量 $\vec{O A} = (1 ， 2)$ ，，则实数 $m =$ .

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14. 已知双曲线C的中心为原点.焦点在x轴上，焦距为8，且C的离心率与它的一条渐近线的斜率之比恰好为2，则C的标准方程为.

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15. 唐宋八大家，又称唐宋散文八大家，是中国唐代韩愈、柳宗元，宋代苏洵、苏轼、苏辙、王安石、曾巩、欧阳修八位散文家的合称，其中江西独占三家，分别是：王安石、曾巩、欧阳修，他们掀起的古文革新浪潮，使诗文发展的陈旧面貌焕然一新，为弘扬中国传统文化，某校决定从唐宋八大家中挑选五位，于某周末开展他们的散文赏析课，五位散文家的散文赏析课各安排一节，连排五节.若在来自江西的三位散文家中至少选出两人，且他们的散文赏析课互不相邻，则不同的排课方法共有种.(用数字作答）

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16. 将函数 $g (x) = \sin ω x (ω ＞ 0)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6 ω}$ 个并位长度可以得到函数 $f (x)$ 的图象，若函数 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{3} ， \frac{5 π}{6})$ 内有零点，无最值，则 $ω$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 记 $S_{n}$ ，为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，已知 $a_{2} + a_{3} = 8$ ， $S_{5} = 25$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式：

(2)、记 $b_{n} = (- 1)^{n} S_{n}$ 求数列 $\{b_{n}\}$ 的前30项的和 $T_{30}$ .

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18. 在 $△ A B C$ 中，内角A ， B ， C所对的边分別为a ， b ， c ， $\sqrt{3} c s i n A s i n B = a s i n C + a s i n C c o s B$ .

(1)、求B的大小；

(2)、若角B的平分线交AC于点D ， $a = 3$ ， $B D = \sqrt{3}$ ，求c.

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面ABCD ， $A D ⊥ C D$ ， $A B / / C D$ ， $P A = A D = C D = 1$ ， $A B = 2$ ，点M是PB的中点.

(1)、证明： $P B = 2 C M$ ；

(2)、求直线DM与平面ACM所发的角的正弦值.

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20. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F ，顶点为坐标原点O ，过点F的直线l与C相交于A ， B两点，当点O到直线l的距离最大时， $A B = 4$ .

(1)、求C的标准方理；

(2)、过点B作 $B D ⊥ x$ 轴于点D ，记线段BD的中点为P ，且 $△ O A F$ 与 $△ O P F$ 的面积之和为S ，求S的最小值.

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21. 近年来，随着智能手机的普及，网络购物、直播带货、网上买菜等新业态迅速进入了我们的生活，改变了我们的生活方式.现将一周网上买菜次数超过3次的市民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的市民认定为“不喜欢网上买菜”，某市M社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机
抽取了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示：

喜欢网上买菜
不喜欢网上买菜
合计
年龄不超过45岁的市民
40
10
50
年龄超过45岁的市民
20
30
50
合计
60
40
100

(1)、是否存99.9\%的把握认为M社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关?

(2)、M社区的市民张无忌周一、二均在网上买菜，且周一从A ， B两个买菜平台随机选择其中一个下单买菜，如果周一选择A平台买菜，那么周二选择A平台买菜的概率为 $\frac{4}{5}$ ；如果周一选择B平台买菜，那么周二选择A平台买菜的概率为 $\frac{1}{3}$ ，求张无忌周二选择B平台买菜的概率：

(3)、用频率估计概率，现从M社区市民中随机抽取20名市民，记其中喜欢网上买菜的市民人数为X ，事件“ $X = k$ ”的概率为P(X=k)，使得P(X=k)取得最大值k的值
参考公式 $x^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ .其中 $n = a + b + c + d$ .
$P (x^{2} \geq k_{0})$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$k_{0}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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22. 已如函数 $f (x) = a l n (x + 1) - a x$ .

(1)、当 $a \neq 0$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $x > - 1$ 时 $f (x) > \frac{a x - e^{x + 1} + a}{x + 1}$ 恒成立，求实数a的取值范围.

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	喜欢网上买菜	不喜欢网上买菜	合计
年龄不超过45岁的市民	40	10	50
年龄超过45岁的市民	20	30	50
合计	60	40	100

$P (x^{2} \geq k_{0})$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828