广东省韶关市2024届高三上学期数学第一次模拟考试试卷

试卷更新日期：2024-01-02 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知复数 $z$ 满足 $(z - 1) i = 1 - i$ ，则 $z =$ （）

A、 $i$ B、 $- i$ C、 $2 - i$ D、 $2 + i$

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2. 已知集合 $A = {x | - 1 \leq x \leq 4} ， B = {x | x < 3}$ ，则 $∁_{R} (A ∩ B) =$ （）

A、 ${x | - 1 < x \leq 3}$ B、 ${x | x \leq - 1 或 x > 3}$ C、 ${x | x < - 1 或 x \geq 3}$ D、 ${x | x < - 1 或 x > 3}$

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3. 已知圆锥的母线长为 $2 \sqrt{2}$ ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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4. 函数 $f (x) = l o g_{2} (x^{2} - 4)$ 在 $(- \infty ， a)$ 上单调递减，则实数 $a$ 取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 2]$ B、 $[2 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 0]$ D、 $[0 ， + \infty)$

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5. 某一物质在特殊环境下的温度变化满足： $T = - 12 l n \frac{w - w_{0}}{w_{1} - w_{0}}$ （ $T$ 为时间，单位为 $m i n ， w_{0}$ 为特殊环境温度， $w_{1}$ 为该物质在特殊环境下的初始温度， $w$ 为该物质在特殊环境下冷却后的温度），假设一开始该物质初始温度为 $100 ℃$ ，特殊环境温度是 $20 ℃$ ，则经过 $12 m i n$ ，该物质的温度最接近（）（参考数据： $e \approx 2.72$ ）

A、 $48 ℃$ B、 $50 ℃$ C、 $52 ℃$ D、 $54 ℃$

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6. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，过点 $F_{2}$ 且垂直于 $x$ 轴的直线与椭圆 $C$ 交于 $P ， Q$ 两点，若 $△ F_{1} P Q$ 为等边三角形，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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7. 已知 $α ， β \in (0 ， \frac{π}{2}) ， s i n α - s i n β = - \frac{2}{3} ， c o s x - c o s β = \frac{2}{3}$ ，则 $t a n (α - β)$ 的值为（）

A、 $\frac{2}{5} \sqrt{14}$ B、 $- \frac{2}{5} \sqrt{14}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{5}}{2}$

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8. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上且不恒为零的函数，对于任意实数 $a ， b$ 满足 $f (a b) = a f (b) + b f (a)$ ，若 $f (e) = e$ ，则 $f (- 1) + f (- \frac{1}{e}) =$ （）

A、 $\frac{1}{e}$ B、 $- \frac{1}{e}$ C、 $1 - \frac{1}{e}$ D、 $1 + \frac{1}{e}$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知圆 $M ： x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y = 0$ ，点 $P (2 ， 2)$ ，下列命题正确的是（）

A、圆 $M$ 的圆心为 $(3 ， 4)$ B、过点 $P$ 的直线可能与圆 $M$ 相切 C、圆 $M$ 上的点到点 $P$ 距离的最大值为 $5 + \sqrt{5}$ D、若以 $P$ 为圆心的圆和圆 $M$ 内切，则圆 $P$ 的半径为 $5 - \sqrt{5}$

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10. 数据 $x_{1} ， x_{2} ， ⋯ ， x_{n}$ 的平均数为 $\bar{x}$ ，方差为 $s_{x}^{2}$ ，数据 $y_{1} ， y_{2} ， ⋯ ， y_{n}$ 的平均数为 $\bar{y}$ ，方差为 $s_{y}^{2}$ ，其中 $x_{i} ， y_{i}$ 满足关系式： $y_{i} = a x_{i} + b (i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n)$ ，则（）

A、 $\bar{y} = a \bar{x} + b$ B、数据 $x_{1} ， x_{2} ， ⋯ ， x_{n} ， y_{1} ， y_{2} ， ⋯ ， y_{n}$ 的平均数为 $(a + 1) \bar{x} + b$ C、若数据 $s_{y}^{2} = 0$ ，则 $x_{1} = x_{2} = ⋯ = x_{n}$ D、若 $a > 0$ ，数据 $x_{1} ， x_{2} ， ⋯ ， x_{n}$ 不全相等，则样本点 $(x_{1} ， y_{1}) ， (x_{2} ， y_{2}) ， ⋯ ， (x_{n} ， y_{n})$ 的成对样本数据的样本相关系数为1

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11. 已知函数， $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $f (\frac{π}{2}) = - \sqrt{3}$ B、将 $y = f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，得到 $y = A s i n x$ 的图象 C、 $\forall x_{1} ， x_{2} \in R$ ，都有 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | < 4$ D、若方程 $f (x) = 2 m$ 在 $[- \frac{π}{2} ， 0]$ 上有两个不相等的实数根，则实数 $m \in (- 1 ， - \frac{\sqrt{3}}{2}]$

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12. 已知 $f (x) = e^{c o s x} - e^{s i n x} ， f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，则（）

A、 $f (x)$ 是周期函数 B、 $f^{'} (x)$ 的一条对称轴是 $x = \frac{π}{4}$ C、 $f (x)$ 在 $(0 ， π)$ 内有两个不同的零点 D、 $f (x)$ 在 $(0 ， π)$ 内有两个不同的极值点

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知 $\vec{a} = (1 ， 0) ， \vec{b} = (0 ， \sqrt{3})$ ，则 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角为．

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14. 现有 $A ， B ， C ， D ， E$ 五人排成一列，其中 $A$ 与 $B$ 相邻， $C$ 不排在两边，则共有种不同的排法（用具体数字作答）．

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15. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与双曲线在第一、三象限的交点分别为 $M ， N$ ，设四边形 $F_{1} N F_{2} M$ 的周长为 $p$ ，面积为 $S$ ，则 $\frac{p^{2}}{S} =$ ．

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16. 四面体的棱长只能是1或3，但该四面体不是正四面体，则该四面体的体积最大值为．

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四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c ， \sqrt{3} a s i n C = c (c o s A + 1)$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 2 ， △ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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18. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B A C = \frac{π}{2} ， A B = A C = A A_{1} = 3$ ．

(1)、证明： $A_{1} B ⊥ B_{1} C$ ；

(2)、若点 $P$ 在棱 $C C_{1}$ 上， $C_{1} P ： P C = 2 ： 1$ ，求平面 $A B C_{1}$ 与平面 $A_{1} B P$ 夹角的余弦值．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $n a_{n + 1} = S_{n} + n (n + 1) ， n \in N^{*}$ ．

(1)、证明：数列 ${a_{n}}$ 是等差数列；

(2)、设 $b_{n} = \frac{n^{2} + n + 1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，若 $a_{2} ， a_{4} ， a_{8}$ 成等比数列，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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20. 有一个质地均匀的正方体骰子与一个有61个格子的矩形方格图，矩形方格图上从0，1，2，…，60依次标号．一个质点位于第0个方格中，现有如下游戏规则：先投掷骰子，若出现1点或2点，则质点前进1格，否则质点前进2格，每次投掷的结果互不影响．

(1)、求经过两次投掷后，质点位于第4个格子的概率；

(2)、若质点移动到第59个格子或第60个格子时，游戏结束，设质点移动到第 $n$ 个格子的概率为 $p_{n}$ ，求 $p_{59}$ 和 $p_{60}$ 的值．

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} ， g (x) = 2 \sqrt{x}$ ．

(1)、若 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线与 $g (x)$ 的图象切于点 $P$ ，求 $P$ 的坐标；

(2)、若函数 $F (x) = f (a x) (x^{2} - \frac{a + 2}{a})$ 的极小值小于零，求实数 $a$ 的取值范围．

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22. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 x$ ，点 $A$ 为抛物线 $C$ 上一点，过点 $A$ 作 $A H ⊥ y$ 轴，垂足为 $H$ ，线段 $A H$ 的中点为 $T$ （当 $A$ 与 $H$ 重合时，认为 $T$ 也与 $H$ 重合），设动点 $T$ 的轨迹为 $Γ$ ．

(1)、求 $Γ$ 的方程；

(2)、设 $P ， M ， N$ 为曲线 $Γ$ 上不同的三点，且 $△ P M N$ 的重心为 $G (1 ， 0)$ ，求 $△ P M N$ 面积的取值范围．

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