浙江省金华十校2024届高三上学期数学11月模拟试卷

试卷更新日期：2024-01-02 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合 $A = {1 ， 2 ， 3} ， B = {- 1 ， 0 ， 1}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、 ${1}$ B、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 2 ， 3}$

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2. 已知 $i$ 为虚数单位，则 $\frac{i}{3 - 4 i} =$ （）

A、 $\frac{4 + 3 i}{5}$ B、 $\frac{- 4 + 3 i}{5}$ C、 $\frac{4 + 3 i}{25}$ D、 $\frac{- 4 + 3 i}{25}$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， λ) ， \vec{b} = (μ ， - 2)$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线，则（）

A、 $\frac{λ}{μ} = - 2$ B、 $\frac{λ}{μ} = 2$ C、 $λ μ = - 2$ D、 $λ μ = 2$

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4. 有一组样本数据1，3，2， $a$ ， 3，5，4， $b$ ，则（）

A、这组样本数据的极差不小于4 B、这组样本数据的平均数不小于4 C、这组样本数据的中位数不小于3 D、这组样本数据的众数等于3

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5. 条件 $| p ： | x | > | y ∣ ，$ ，条件 $q ： \frac{1}{| x |} < \frac{1}{y}$ ，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0) ， F$ 为抛物线 $C$ 的焦点， $P$ 为抛物线 $C$ 上的动点（不含原点）， $⊙ F$ 的半径为 $\frac{p}{2}$ ，若 $⊙ P$ 与 $⊙ F$ 外切，则（）

A、 $⊙ P$ 与直线 $x = 0$ 相切 B、 $⊙ P$ 与直线 $y = 0$ 相切 C、 $⊙ P$ 与直线 $x = - \frac{p}{2}$ 相切 D、 $⊙ P$ 与直线 $y = - \frac{p}{2}$ 相切

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7. 已知 $a > 0 ， b > 0 ， 2 a + b = a b$ ，则 $\frac{2 a}{a - 1} + \frac{b}{b - 2}$ 的最小值为（）

A、4 B、6 C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $3 + 2 \sqrt{2}$

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8. 如图，水利灌溉工具筒车的转轮中心 $O$ 到水面的距离为 $1 m$ ，筒车的半径是 $3 m$ ，盛水筒的初始位置为 $P_{0} ， O P_{0}$ 与水平正方向的夹角为 $\frac{π}{6}$ ．若筒车以角速度 $2 r a d / m i n$ 沿逆时针方向转动， $t$ 为筒车转动后盛水筒第一次到达入水点 $P_{1}$ 所需的时间（单位： $m i n$ ），则（）

A、 $c o s t = \frac{1}{2}$ B、 $s i n t = \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $c o s 2 t = - \frac{2 \sqrt{6} + 1}{6}$ D、 $s i n 2 t = - \frac{\sqrt{3} + 2 \sqrt{2}}{6}$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ，则（）

A、 $A C ∥$ 平面 $B A_{1} C_{1}$ B、 $D_{1} O ∥$ 平面 $B A_{1} C_{1}$ C、平面 $A C D_{1} ∥$ 平面 $B A_{1} C_{1}$ D、平面 $O D D_{1} ∥$ 平面 $B A_{1} C_{1}$

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10. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 4 x + 4 (x \in [0 ， 3])$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， 2]$ 上单调递减 B、函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， 3]$ 上的最大值为1 C、函数 $f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为 $y = - 3 x + \frac{10}{3}$ D、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = a$ 在区间 $[0 ， 3]$ 上有两解，则 $a \in (- \frac{4}{3} ， 4)$

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11. 对于给定的数列 ${a_{n}}$ ，如果存在实数 $p ， q$ ，使得 $a_{n + 1} = p a_{n} + q$ 对任意 $n \in N^{*}$ 成立，我们称数列 ${a_{n}}$ 是“线性数列”，数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{1} = 1 ， c_{n + 1} = c_{n} + b_{n} (n \in N^{*})$ ，则（）

A、等差数列是“线性数列” B、等比数列是“线性数列” C、若 ${b_{n}}$ 是等差数列，则 ${c_{n}}$ 是“线性数列” D、若 ${b_{n}}$ 是等比数列，则 ${c_{n}}$ 是“线性数列”

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12. 已知函数 $f (x)$ 和其导函数 $g (x)$ 的定义域都是 $R$ ，若 $f (x) - x$ 与 $g (2 x + 1)$ 均为偶函数，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $\frac{f (x)}{x}$ 关于点 $(0 ， 1)$ 对称 C、 $g (2023) = 1$ D、 $(g (1) - 1) \times (g (2) + 1) + (g (2) - 1) \times (g (3) + 1) + ⋯ + (g (2023) - 1) \times (g (2024) + 1) = 0$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 在二项式 ${(x + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{5}$ 的展开式中， $x^{2}$ 的系数为．

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14. 已知梯形 $A B C D$ 满足 $A D ∥ B C$ 且 $A B ⊥ A D$ ，其中 $B C = 3 ， A B = \sqrt{3} ， A D = 2$ ，将梯形 $A B C D$ 绕边 $B C$ 旋转一周，所得到几何体的体积为．

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15. 一次掷两枚骰子，若两枚骰子点数之和为4或5或6，则称这是一次成功试验．现进行四次试验，则恰出现一次成功试验的概率为．

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16. 已知 $P$ 为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上一点， $F_{1} ， F_{2}$ 分别为其左右焦点， $A$ 为其右顶点， $O$ 为坐标原点，点 $A$ 到直线 $O P$ 的距离为 $d_{1} (d_{1} \neq 0)$ ，点 $P$ 到 $x$ 轴的距离为 $d_{2}$ ，若 $d_{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} d_{1}$ ，且 $| P F_{1} | ， | P O | ， | P F_{2} |$ 成等比数列，则椭圆 $C$ 的离心率为．

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四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别是 $a ， b ， c$ ，且 $s i n^{2} A + s i n^{2} B - s i n^{2} C = s i n A s i n B$ ．

(1)、求角 $C$ ；

(2)、 $D$ 为边 $B C$ 上一点，且 $C D = B D = 2 A C$ ，求 $c o s ∠ D A B$ 的值．

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形，侧棱 $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且 $P A = A B$ ，点 $E ， F$ 分别为 $P B ， P D$ 的中点．

(1)、证明： $P C ⊥$ 平面 $A E F$ ；

(2)、求平面 $A E F$ 与平面 $A B C D$ 夹角的余弦值．

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19. 设正项数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n} = \frac{a_{n}^{2} + a_{n}}{2}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若不等式 $\frac{1}{3 S_{1}} + \frac{1}{4 S_{2}} + ⋯ + \frac{1}{(n + 2) S_{n}} > \frac{1}{2} - \frac{λ}{S_{n}}$ 对任意正整数 $n$ 均成立，求 $λ$ 的取值范围．

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20. 2023年9月8日，第19届亚运会火炬传递启动仪式在杭州西湖景区涌金公园广场成功举行．火炬传递首日传递从杭州西湖涌金公园广场出发，沿南山路—湖滨路—环城西路—北山街—西泠桥—孤山路传递，在“西湖十景”之一的平湖秋月收火．杭州亚运会火炬首日传递共有106棒火炬手参与．

(1)、组委会从全省火炬手中随机抽取了100名火炬手进行信息分析，得到如下表格：
性别
年龄
总计
满50周岁
未满50周岁
男
15
45
60
女
5
35
40
总计
20
80
100
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
根据小概率值 $α = 0.1$ 的 $χ^{2}$ 独立性检验，试判断全省火炬手的性别与年龄满或未满50周岁是否有关联；

(2)、在全省的火炬手中，男性占比72%，女性占比28%，且50%的男性火炬手和25%的女性火炬手喜欢观看足球比赛．某电视台随机选取一位喜欢足球比赛的火炬手做访谈，请问这位火炬手是男性的概率为多少？

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21. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ ，直线 $l$ 过双曲线 $C$ 的右焦点 $F$ 且交右支于 $A ， B$ 两点，点 $S$ 为线段 $A B$ 的中点，点 $T$ 在 $x$ 轴上， $S T ⊥ A B$ ．

(1)、求双曲线 $C$ 的渐近线方程；

(2)、若 $\vec{T S} \cdot \vec{T B} = \frac{80}{9}$ ，求直线 $l$ 的方程．

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22. 已知 $f (x) = a x^{2} - a x - \frac{1}{x} - l n x + e^{1 - x} (a > 0)$ ．

(1)、若当 $x = 1$ 时函数 $f (x)$ 取到极值，求 $a$ 的值；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 在区间 $(1 ， + \infty)$ 上的零点个数．

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性别		年龄					总计
		满50周岁			未满50周岁
男		15			45		60
女		5			35		40
总计		20			80		100
$α$	0.1		0.05	0.01		0.005		0.001
$x_{α}$	2.706		3.841	6.635		7.879		10.828