黑龙江省哈尔滨市13中2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2024-01-02 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | | x - 2 | < 1} ， B = {x | l o g_{2} x < 1}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(0 ， 3)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(- \infty ， 3)$ D、 $(0 ， 2)$

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2. 若复数 $z$ 满足 $z i = 2 - i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z$ 在复平面上所对应的点位于（）.

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 在正项等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} + a_{6} = 10$ ， $a_{4} = 4$ ，则 ${a_{n}}$ 的公比 $q =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、2或 $\frac{1}{2}$ D、 $\sqrt{2}$ 或 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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4. 已知圆台上下底面半径之比为 $1 ： 2$ ，母线与底面所成的角的正弦值为 $\frac{3}{5}$ ，圆台体积为 $14 π$ ，则该圆台的侧面面积为（）

A、 $30 π$ B、 $18 π$ C、 $15 π$ D、 $9 π$

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5. 小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物 $A B$ ，高为 $10 (3 - \sqrt{3}) m$ ，在它们之间的地面上的点 $M$ （ $B$ ， $M$ ， $D$ 三点共线）处测得楼顶 $A$ ，教堂顶 $C$ 的仰角分别是 $15 °$ 和 $60 °$ ，在楼顶 $A$ 处测得塔顶 $C$ 的仰角为 $30 °$ ，则小明估算索菲亚教堂的高度为（）

A、 $60 m$ B、 $30 \sqrt{3} m$ C、 $20 \sqrt{3} m$ D、 $30 m$

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6. 在 $△ A B C$ 中，已知向量 $\vec{A B} = (c o s 18 ° ， c o s 72 °)$ ， $\vec{A C} = (2 c o s 63 ° ， 2 c o s 27 °)$ ，则 $c o s ∠ B A C$ 的值为（）

A、0 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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7. 若函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 在区间 $(0 ， π)$ 上既有最大值，又有最小值，则 $ω$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{4}{3} ， + \infty)$ B、 $[\frac{4}{3} ， + \infty)$ C、 $(2 ， + ∞)$ D、 $[2 ， + \infty)$

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8. 已知 $a = 5 l n 9$ ， $b = 6 l n 8$ ， $c = 7 l n 7$ ，则 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的大小关系为（）

A、 $b > c > a$ B、 $c > b > a$ C、 $a > c > b$ D、 $a > b > c$

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二、多选题

9. 已知数据 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ⋯ x_{10}$ 的平均数为 $a$ ，中位数为 $b$ ，方差为 $c$ ，极差为 $d$ 由这数据得到新数据 $y_{1} ， y_{2} ， y_{3} ⋯ y_{10}$ ，其中 $y_{i} = 3 x_{i} + 2 （ i = 1 ， 2 ， 3 ⋯ 10 ）$ ，则所得新数据（）

A、平均数是3 $a$ B、中位数是3 $b$ C、方差是9 $c$ D、极差是3 $d$

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10. 在一个限速40 $k m / h$ 的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 $m$ ，乙车的刹车距离略超过10 $m$ .又知甲､乙两种车型的刹车距离S $m$ 与车速x $k m / h$ 之间分别有如下关系：S_甲=0.1x+0.01x² ， S_乙=0.05x+0.005x².则下列判断错误的是（）

A、甲车超速 B、乙车超速 C、两车均不超速 D、两车均超速

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11. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $d$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $d \neq 0$ ， $a_{1} ， a_{4} ， a_{6}$ 成等比数列，则（）

A、 $S_{19} = 0$ B、 $a_{9} = 0$ C、当 $d < 0$ 时， $S_{9}$ 是 $S_{n}$ 的最大值 D、当 $d > 0$ 时， $S_{10}$ 是 $S_{n}$ 的最小值

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12. 下列选项中，与 $c o s (- \frac{2023 π}{3})$ 的值相等的是（）

A、 $2 c o s 15 ° c o s 75 °$ B、 $s i n 86 ° c o s 56 ° - c o s 86 ° s i n 56 °$ C、 $\frac{1}{(1 + t a n 3 °) (1 + t a n 42 °)}$ D、 $c o s \frac{16 π}{5} + c o s \frac{8 π}{5}$

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三、填空题

13. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B ⊥ B C$ ，且 $P A = A B = 2$ ， $B C = 2$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 外接球的体积等于．

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14. 已知事件 $A$ 与 $B$ 相互独立， $P (A) = 0.6$ ， $P (A B) = 0.42$ ，则 $P (A + B) =$ ．

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ， $a_{2} = 4$ ，且 $a_{n + 2} = 4 a_{n + 1} - 4 a_{n}$ $(n \in N^{*})$ ，则 $a_{n} =$ .

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16. 在边长为2的等边 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $A C$ 的中点， $M$ 为 $A B$ 边上一动点，则 $\vec{M C} \cdot \vec{M D}$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 设 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_{2} = 3$ ， $S_{5} = 25$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = 2^{n - 1}$ ，令 $c_{n} = a_{n} b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = 2 B C = C C_{1} = 2$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， D，E，F，分别是棱 $A_{1} C_{1}$ ， $B C$ ， $A C$ 的中点.

(1)、证明：平面 $A B D / /$ 平面 $F E C_{1}$ ；

(2)、求直线 $A C$ 与平面 $A B D$ 所成角的正弦值.

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19. 某公司对其产品研发的年投资额 $x$ （单位：百万元）与其年销售量 $y$ （单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表：
$x$
$1$
$2$
$3$
$4$
$5$
$y$
$1.5$
$2$
$3.5$
$8$
$15$
（参考： $\sqrt{51} \approx 7.14$ ）
参考： $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} (y_{i} - \bar{y})^{2}}} = \frac{\sum_{n}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i}^{2} - n {\bar{y}}^{2})} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} (y_{i}^{2} - n {\bar{y}}^{2})}}$ ， $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{1} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{1} y_{1} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{1}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

(1)、求变量 $x$ 和 $y$ 的样本相关系数 $r$ （精确到 $0.01$ ），并推断变量 $x$ 和 $y$ 的线性相关程度；（若 $| r | \geq 0.75$ ，则线性相关性程度很强；若 $0.30 \leq | r | < 0.75$ ，则线性相关性程度一般，若 $| r | \leq 0.25$ ，则线性相关性程度很弱.）

(2)、求年销售量 $y$ 关于年投资额 $x$ 的经验回归方程.并预测投资额为700万无时的销售量.

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20. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\cos C = \frac{2 b - c}{2 a}$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 的周长为 $6$ ，求 $△ A B C$ 面积 $S$ 的最大值．

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{m}{x} + l n x ， m \in R$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、证明：当 $m > 0$ 时， $m f (x) \geq 2 m - 1$ .

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22. 已知数列 ${a_{n}}$ 的首项为1，设 $f (n) = a_{1} C_{n}^{1} + a_{2} C_{n}^{2} + \dots + a_{k} C_{n}^{k} + \dots + a_{n} C_{n}^{n}$ ， $n \in N^{*}$ ．

(1)、若 ${a_{n}}$ 为常数列，求 $f (8)$ 的值；

(2)、若 ${a_{n}}$ 为公比为2的等比数列，求 $f (n)$ 的解析式；

(3)、数列 ${a_{n}}$ 能否成等差数列，使得 $f (n) - 1 = 2^{n} \cdot (n - 1)$ 对一切 $n \in N^{*}$ 都成立？若能，求出数列 ${a_{n}}$ 的通项公式，若不能，试说明理由．

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$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$y$	$1.5$	$2$	$3.5$	$8$	$15$