河北省保定市唐县第一高级中学2023-2024学年高三上学期11月期中调研数学试题

试卷更新日期：2024-01-02 类型：期中考试

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = {x | 2 x - 1 | < 6}$ ， $B = {- 3 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 3 ， 0 ， 1}$ B、 ${0 ， 1 ， 2}$ C、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3}$ D、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4}$

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2. 已知 $i$ 是虚数单位，则复数 $\frac{3 + i}{1 + 2 i} =$ （）

A、 $2 - i$ B、 $2 + i$ C、 $1 + i$ D、 $1 - i$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， - 2)$ ， $\vec{b} = (3 ， - 1)$ ， $\vec{c} = (x ， 4)$ ，若 $(\vec{a} + \vec{c}) ∥ + (\vec{b} + \vec{c})$ ，则 $x =$ （）

A、3 B、-1 C、2 D、4

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4. 已知函数 $f (x) = 2^{2 x} - a \cdot 2^{x} + 4$ ，若 $f (x) \geq 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， 4]$ B、 $(- \infty ， 2]$ C、 $[4 ， + \infty)$ D、 $[2 ， + \infty)$

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5. 中国是瓷器的故乡，“瓷器”一词最早见之于许慎的《说文解字》中.某瓷器如图1所示，该瓷器可以近似看作由上半部分圆柱和下半部分两个圆台组合而成，其直观图如图2所示，已知圆柱的高为18cm，底面直径 $A B = 12 c m$ ， $C D = 20 c m$ ， $E F = 14 c m$ ，中间圆台的高为3cm，下面圆台的高为4cm，若忽略该瓷器的厚度，则该瓷器的侧面积约为（）

A、 $375 π c m^{2}$ B、 $377 π c m^{2}$ C、 $379 π c m^{2}$ D、 $381 π c m^{2}$

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6. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} a x + 1 - a ， 0 \leq x \leq 1 ， \\ 2^{x^{2} - a r} ， 1 < x \leq 2 ， \end{array}$ ，若 $\forall x_{1} ， x_{2} \in [0 ， 2]$ ， $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} > 0$ 成立，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0 ， 2]$ B、 $(- \infty ， 1]$ C、 $(0 ， 1]$ D、 $(0 ， + \infty)$

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7. 如图，正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的边长为1，记其面积为 $S_{1}$ ，取其四边的中点 $A_{2}$ ， $B_{2}$ ， $C_{2}$ ， $D_{2}$ ，作第二个正方形 $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ ，记其面积为 $S_{2}$ ，然后再取正方形 $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ 各边的中点 $A_{3}$ ， $B_{3}$ ， $C_{3}$ ， $D_{3}$ ，作第三个正方形 $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ ，记其面积为 $S_{3}$ ，如果这个作图过程一直继续下去，记这些正方形的面积之和 $S = S_{1} + S_{2} + S_{3} + \cdot \cdot \cdot + S_{n} + \cdot \cdot \cdot$ ，则面积之和 $S$ 将无限接近于（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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8. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(- 1 ， + \infty)$ ，导函数为 $f^{'} (x)$ ，不等式 $\frac{f (x)}{x + 1} + l n (x + 1) \cdot f^{'} (x) \geq l n (x + 1) \cdot f (x)$ 恒成立，且 $f (4) = \frac{e^{4}}{l n 5}$ ，则不等式 $l n (x + 3) \cdot f (x + 2) \geq e^{x + 2}$ 的解集为（）

A、 $[2 ， + \infty)$ B、 $(- 1 ， 2]$ C、 $[0 ， + \infty)$ D、 $(0 ， 2]$

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知 $t a n θ = 3$ ，则（）

A、 $\frac{c o s θ}{s i n θ + 2 c o s θ} = \frac{1}{5}$ B、 $t a n (θ - \frac{5 π}{4}) = \frac{1}{2}$ C、 $s i n^{2} θ + \frac{1}{10} = \frac{1}{5}$ D、 $\frac{1 + c o s 2 θ}{s i n 2 θ} = 3$

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10. 下列四个结论中正确的是（）

A、已知 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 是空间的一组基底，则 ${\vec{a} - \vec{b} ， \vec{b} ， \vec{b} - \vec{c}}$ 也是空间的一组基底 B、已知向量 $\vec{a} = (4 ， - 2 ， 9)$ ， $\vec{b} = (1 ， 2 ， 2)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量的坐标为（3，6，6） C、若A，B，C，D四点共面，则存在实数x，y，使 $\vec{A B} = x \vec{A C} + y \vec{A D}$ D、已知空间中的点 $A (1 ， 0 ， 2)$ ， $B (0 ， 1 ， 2)$ ， $C (1 ， 3 ， 0)$ ， $D (- 1 ， 2 ， 2)$ ，则直线 $A B$ 与直线 $C D$ 的夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{6}$

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $\frac{a_{n + 1}}{n + 1} - \frac{a_{n}}{n} = 1$ ，且 $a_{1} = 1$ ，数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和记为 $S_{n}$ ，且数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = n a_{n}$ ，则（）

A、 $a_{n} = n^{2} + n$ B、 ${\frac{a_{n}}{n}}$ 的前10项和为55 C、当 $n \geq 2$ 时， $b_{n} - b_{n - 1} = 3 a_{n} - 3 n + 1$ D、 $S_{n} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

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12. 已知函数 $f (x) = x^{3} (3 l n x - 1)$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 的最小值为-1 B、若函数 $f (x)$ 在点 $(m ， f (m))$ 处的切线与直线 $y = 9 e^{2} x - 1$ 平行，则 $f (m) = 2 e^{3}$ C、函数 $g (x) = f (x) - a (a > 0)$ 有且仅有两个零点 D、 $f (l n (\frac{3 e}{2})) < f (\frac{3}{2}) < f (l o g_{2} 3)$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 命题“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} > 1$ ”的否定是

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14. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} \cdot 2^{x}}{4^{a x} + 1}$ 为偶函数，则 $a =$ .

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15. 如图，直线 $P A$ 垂直于圆 $O$ 所在的平面， $△ A B C$ 内接于圆 $O$ ，且 $A B$ 为圆 $O$ 的直径， $A B = 8$ ， $A P = 6$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的外接球的半径为.

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16. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ （其中 $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $- \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如下图所示，若 $f (x)$ 在区间 $(- m ， m)$ 上有且仅有两个零点，则实数m的取值范围为.

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

17. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $\frac{1}{2} c s i n B = (c - a c o s B) s i n C$ .

(1)、求A；

(2)、若 $D$ 为边 $A B$ 上一点， $A D = 2 D B$ ， $A C = 2$ ， $B C = \sqrt{7}$ ，求 $△ A C D$ 的面积.

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18. 在正项等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $a_{n + 1}^{2} - a_{2}^{2} = 2 n$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

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19. 如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A A_{1} = 2$ ， $D$ 为 $C C_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $A_{1} B ⊥ A D$ ；

(2)、求平面 $A B D$ 与平面 $A_{1} B D$ 的夹角的余弦值.

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20. 已知函数 $f (x) = s i n x - a x$ ， $a \in R$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求函数 $f (x)$ 的图象在点 $(\frac{π}{2} ， f (\frac{π}{2}))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x) \geq 0$ 在 $(0 ， \frac{π}{2}]$ 上恒成立，求实数 $a$ 的最大值.

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $2 a_{n + 1} = a_{n} - \frac{3}{2}$ ，且 $a_{1} = \frac{1}{2}$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} + b_{n + 2} = 2 b_{n + 1}$ 且 $b_{1} = 2 a_{1}$ ， $b_{3} = 4 a_{1} - a_{3}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $c_{n} = (a_{n} + \frac{3}{2}) \cdot b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ；

(3)、在（2）的条件下，对于实数m，存在正整数n，使得 $S_{n} \leq m$ 成立，求m的最小值.

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22. 已知函数 $f (x) = a e^{x - 1} + l n x - (a + 1) x$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，证明：函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增；

(2)、若 $x = 1$ 是函数 $f (x)$ 的极大值点，求实数 $a$ 的取值范围.

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