河北省衡水市武强中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2024-01-02 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知 $A = {x | | x - 1 | < 2} ， B = {x | x > 1}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x | - 1 < x < 3}$ B、 ${x | x > - 1}$ C、 ${x | x > 3}$ D、 ${x | 1 < x < 3}$

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2. 命题“ $\exists x_{0} \in (0 ， + \infty)$ ， $x_{0}^{2} + 1 \leq 2 x_{0}$ ”的否定为（）

A、 $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ， $x^{2} + 1 > 2 x$ B、 $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ， $x^{2} + 1 \leq 2 x$ C、 $\forall x \in (- \infty ， 0)$ ， $x^{2} + 1 \leq 2 x$ D、 $\forall x \in (- \infty ， 0]$ ， $x^{2} + 1 > 2 x$

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3. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 3 + 3 x ， - 3 \leq x < 1 \\ x^{2} - 3 x ， 1 \leq x \leq 3 \end{array}$ ，则 $f (f (\frac{3}{2})) =$ （）

A、 $- \frac{27}{4}$ B、 $- \frac{15}{4}$ C、 $- \frac{27}{16}$ D、 $- \frac{15}{16}$

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4. 已知不等式 $m - 1 < x < m + 1$ 成立的充分条件是 $\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}$ ，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 ${m ∣ m < - \frac{1}{2}$ 或 $m > \frac{4}{3}}$ B、 ${m ∣ m < - \frac{1}{2}$ 或 $m \geq \frac{4}{3}}$ C、 ${m | - \frac{1}{2} < m < \frac{4}{3}}$ D、 ${m | - \frac{1}{2} \leq m \leq \frac{4}{3}}$

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5. 已知函数 $f (x) = s i n (\frac{π}{2} + x) s i n (π + x)$ ，则 $f (\frac{5 π}{6}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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6. 已知 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a = \sqrt{2}$ ， $b = \sqrt{6}$ ， $A = 30 °$ ，则 $c =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{2}$ 或 $2 \sqrt{2}$ D、2或 $\sqrt{3}$

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7. 若 $x < \frac{2}{3}$ ，则 $f (x) = 3 x + 1 + \frac{9}{3 x - 2}$ 有（）

A、最大值 $0$ B、最小值9 C、最大值 $- 3$ D、最小值 $- 3$

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8. 函数 $f (x) = l o g_{2} x + 2^{x} - \frac{x}{l n 2}$ 的图象在 $x = 1$ 处切线的斜率为（）

A、 $l n 2$ B、 $2 l n 2$ C、 $2$ D、 $2 - \frac{1}{l n 2}$

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二、多选题

9. 设 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $s i n A > s i n B$ ，则 $A > B$ B、若 $c = \sqrt{13} ， C = \frac{π}{3}$ ，则 $△ A B C$ 外接圆的半径为 $\frac{\sqrt{39}}{6}$ C、若 $a = 2 ， b = 3 ， c = \sqrt{10}$ ，则 $\vec{A C} \cdot \vec{B C} = \frac{3}{2}$ D、若 $a s i n A + b s i n B > c s i n C$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形

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10. 已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c \geq 0$ 的解集为 ${x | x \leq 3$ 或 $x \geq 4}$ ，则下列结论中，正确结论的序号是（）

A、 $a > 0$ B、不等式 $b x + c < 0$ 的解集为 ${x | x < - 4}$ C、不等式 $c x^{2} - b x + a < 0$ 的解集为 ${x | x < - \frac{1}{4}$ 或 $x > \frac{1}{3}}$ D、 $a + b + c > 0$

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11. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、当 $x \in [- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4}]$ 时， $f (x)$ 的值域为 $[- \frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2}]$ C、将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度可得函数 $g (x) = s i n 2 x$ 的图象 D、将函数 $f (x)$ 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点 $(\frac{5 π}{6} ， 0)$ 对称

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12. 已知函数 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{a x^{2} - 4 x + 3}$ ，则下列叙述正确的是（）

A、当 $a = 1$ 时，函数在区间 $(2 ， + ∞)$ 上是增函数 B、当 $a = 1$ 时，函数在区间 $(2 ， + ∞)$ 上是减函数 C、若函数 $f (x)$ 有最大值2，则 $a = 1$ D、若函数 $f (x)$ 在区间 $(- \infty ， 2)$ 上是增函数，则 $a$ 的取值范围是 $[0 ， 1]$

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = f^{'} (- 1) \cdot x^{4} + 2 x$ ，则 $f^{'} (- 1) =$ .

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14. 已知函数 $y = l o g_{a} (x + 2) - 1$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）的图像过定点A，若点A在函数 $f (x) = 3^{x} + b$ 的图像上，则 $f (l o g_{3} 2) =$ .

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15. 已知 $s i n (\frac{2 π}{3} + x) = \frac{3}{5}$ ，则 $c o s (\frac{7 π}{6} + x)$ 等于．

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16. 已知函数 $f (x) = 3 l n x - x^{2} + (a - \frac{1}{2}) x$ 在区间 $(1 ， 3)$ 上有最大值，则实数a的取值范围是

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四、解答题

17. 设函数 $y = a x^{2} + (b - 2) x + 3$ .

(1)、若关于 $x$ 的不等式 $y > 0$ 的解集为 ${x | - 1 < x < 3}$ ，求 $y \geq 4$ 的解集；

(2)、若 $x = 1$ 时， $y = 2 ， a > 0 ， b > 0$ ，求 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值.

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18. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $[- 3 ， 3]$ 上的奇函数，当 $0 < x \leq 3$ 时， $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x$ .

(1)、求当 $- 3 ≤ x < 0$ 时，函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $f (a + 1) + f (2 a - 1) > 0$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} (2^{x} + 1) + a x$ 是偶函数.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、设 $g (x) = f (x) + x$ ， $h (x) = x^{2} - 2 x + m$ ，若对任意的 $x_{1} \in [0 ， 4]$ ，存在 $x_{2} \in [0 ， 5]$ ，使得 $g (x_{1}) \geq h (x_{2})$ ，求 $m$ 的取值范围.

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20. 在 $△ A B C$ 中，a、b，c分别是角A、B、C的对边，且 $(a + b) (s i n A - s i n B) = (c - b) s i n C$ ．

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $s i n B$ 是方程 $x^{2} - 2 x + \frac{99}{100} = 0$ 的一个根，求 $c o s C$ 的值．

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21. 已知 $\vec{a} = (2 c o s x ， \frac{\sqrt{3}}{2}) ， \vec{b} = (s i n (x - \frac{π}{3}) ， 1)$ ，设 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ．

(1)、求当 $f (x)$ 取最大值时，对应的x的取值；

(2)、若 $x_{0} \in [\frac{5 π}{12} ， \frac{2 π}{3}]$ ，且 $f (x_{0}) = \frac{4}{5}$ ，求 $t a n (2 x_{0} - \frac{π}{12})$ 的值．

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22. 已知函数 $f (x) = l n (x + 1) - a x + 2$ ．

(1)、若 $a = 2$ ，求 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线方程；

(2)、当 $x \geq 0$ 时， $f (x) + 2 x + x l n (x + 1) \geq 0$ 恒成立，求整数a的最大值．

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