广东省佛山市H7教育共同体2023-2024学年高二上学期数学联考试卷

试卷更新日期：2024-01-02 类型：月考试卷

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 若直线 $l$ 过点 $(4，0)$ 、 $(1 ， \sqrt{3})$ ，则该直线的倾斜角为（）

A、 $15 0^{\circ}$ B、 $12 0^{\circ}$ C、 $6 0^{\circ}$ D、 $3 0^{\circ}$

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2. 若连续抛两次骰子得到的点数分别是 $m$ ， $n$ ，则点 $P (m ， n)$ 在直线 $2 x + y = 6$ 上的概率是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{12}$ D、 $\frac{1}{18}$

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3. 在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，点 $A (0，1 ， - 1) ， B (1，1 ， 2)$ ，点 $B$ 关于 $y$ 轴对称的点为 $C$ ，则 $| A C | =$ （）

A、 $\sqrt{14}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $2$

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4. 若点 $M (x ， y)$ 满足方程 $\sqrt{x^{2} + {(y - 2)}^{2}} + \sqrt{x^{2} + {(y + 2)}^{2}} = 12$ ，则动点 $M$ 的轨迹方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{32} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{20} = 1$ C、 $\frac{y^{2}}{36} + \frac{x^{2}}{32} = 1$ D、 $\frac{y^{2}}{144} + \frac{x^{2}}{16} = 1$

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5. 如图，在圆锥SO中，AB是底面圆 $O$ 的直径，D ， E分别为SO ， SB的中点， $O C ⊥ A B$ ， $S O = A B = 4$ ，则直线AD与直线CE所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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6. 规定：投掷飞镖 $3$ 次为一轮，若 $3$ 次中至少两次投中 $8$ 环以上为优秀．根据以往经验某选手投掷一次命中 $8$ 环以上的概率为 $\frac{4}{5} .$ 现采用计算机做模拟实验来估计该选手获得优秀的概率：用计算机产生 $0$ 到 $9$ 之间的随机整数，用 $0$ 、 $1$ 表示该次投掷未有 $8$ 环以上，用 $2$ 、 $3$ 、 $4$ 、 $5$ 、 $6$ 、 $7$ 、 $8$ 、 $9$ 表示该次投掷在 $8$ 环以上，经随机模拟试验产生了如下 $20$ 组随机数：
$\begin{matrix} 907 & 966 & 191 & 925 & 271 & 932 & 812 & 458 & 569 & 683 \\ 031 & 257 & 393 & 527 & 556 & 488 & 730 & 313 & 537 & 989 \end{matrix}$
据此估计，该选手投掷 $1$ 轮，可以拿到优秀的概率为（）

A、 $\frac{9}{10}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{7}{10}$ D、 $\frac{3}{5}$

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7. 若直线 $l_{1} ： x + 2 y - m = 0$ ， $l_{2} ： 2 x - y + n = 0$ 与圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 1 = 0$ 的四个交点能构成正方形，则 $m n =$ （）

A、 $3$ B、 $2$ C、 $1$ D、 $0$

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8. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $1$ ， $P$ 为 $A A_{1}$ 的中点， $M$ 在侧面 $A A_{1} B_{1} B$ 上，若 $D_{1} M ⊥ C P$ ，则 $▵ B C M$ 面积的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{15}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{10}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{2}$

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二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9. 已知曲线 $\frac{x^{2}}{12 - m} + \frac{y^{2}}{m - 4} = 1$ 表示椭圆，下列说法正确的是（）

A、 $m$ 的取值范围为 $(4，12)$ B、若该椭圆的焦点在 $y$ 轴上，则 $m \in (8，12)$ C、若 $m = 6$ ，则该椭圆的焦距为 $4$ D、若 $m = 10$ ，则该椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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10. 已知随机事件 $A$ 、 $B$ 发生的概率分别为 $P (A) = \frac{1}{3}$ ， $P (B) = \frac{1}{6}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $A$ 与 $B$ 互斥，则 $P (A \cup B) = \frac{1}{2}$ B、若 $A$ 与 $B$ 相互独立，则 $P (A \cup B) = \frac{4}{9}$ C、若 $P (\bar{A} B) = \frac{1}{9}$ ，则事件 $\bar{A}$ 与 $B$ 相互独立 D、若 $B \subseteq A$ ，则 $P (A B) = \frac{1}{3}$

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11. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $M$ 、 $N$ 分别是 $A_{1} B$ 、 $B_{1} C_{1}$ 上的点，且 $B M = 2 A_{1} M ， C_{1} N = 2 B_{1} N .$ 若 $∠ B A C = 9 0^{\circ}$ ， $∠ B A A_{1} = ∠ C A A_{1} = 6 0^{\circ}$ ， $A B = A C = A A_{1} = 1$ ，则（）

A、 $\vec{M N} = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C} + \frac{2}{3} \vec{A A_{1}}$ B、 $|\vec{M N}| = \frac{\sqrt{5}}{3}$ C、 $\vec{A B_{1}} ⊥ \vec{B C_{1}}$ D、 $c o s ⟨\vec{A B_{1}} ， \vec{B C_{1}}⟩ = \frac{1}{6}$

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12. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l ： \sqrt{3} x - y - 1 = 0$ ，圆 $C ： {(x - c o s θ)}^{2} + {(y - s i n θ)}^{2} = 4$ ，则（）

A、圆 $C$ 经过坐标原点 B、当 $θ = \frac{π}{6}$ 时，直线 $l$ 与圆 $C$ 相交，且相交弦长为 $4$ C、直线 $l$ 与圆 $C$ 必相交 D、直线 $l$ 与圆 $C$ 相交弦长的最小值为 $\sqrt{7}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ， $C$ 的上顶点为 $A$ ，两个焦点为 $F_{1} ， F_{2}$ ， $△ A F_{1} F_{2}$ 是等边三角形，椭圆 $C$ 的离心率是．

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14. 甲、乙、丙三人进行投篮比赛，每轮比赛各投篮一次，命中的概率分别为 $\frac{2}{3}$ 、 $\frac{1}{2}$ 、 $\frac{1}{4}$ ，若每次投球三入互不影响，则在一轮比赛中，三人中恰有两人投篮命中的概率为．

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15. 在空间直角坐标系 $O x y z$ 中， $\vec{A B} = (2，1 ， 0) ， \vec{A C} = (1，1 ， \sqrt{2})$ ，则点 $B$ 到直线 $A C$ 的距离为．

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16. 已知点 $A (- 2，0)$ 、 $B (\frac{5}{2} ， 0)$ ，直线 $y = k x + 3$ 上存在点 $M$ ，使得 $|M A| = 2 |M B|$ ，则实数 $k$ 的取值范围是．

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四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. 已知 $△ A B C$ 的三个顶点是 $A (- 2，1)$ ， $B (0 ， - 3)$ ， $C (2，4)$ ．

(1)、求 $△ A B C$ 边上的高所在的直线方程；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积，

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18. 已知 $A$ 盒子装有 $4$ 个红球 $2$ 个白球， $B$ 盒子装有 $2$ 个红球 $2$ 个白球，它们除了颜色不同外大小材质相同．

(1)、若甲从 $A$ 盒中一次抽取 $2$ 个球，求两个球颜色不同的概率；

(2)、若甲从 $A$ 盒中，乙从 $B$ 盒中分别有放回地抽取两次，每次每人抽取 $1$ 球，求甲、乙共抽到 $3$ 个红球的概率．

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19. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $B A ⊥ B C$ ， $B A = B C = B B_{1} = 2$ ， $D$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $A A_{1}$ ， $B_{1} C_{1}$ ， $A B$ 的中点．

(1)、证明： $E F / /$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ；

(2)、求直线 $C E$ 与平面 $D E F$ 所成角的正弦值．

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20. 已知圆 $C$ 过点 $M (4 ， - 1)$ ，圆心 $C$ 在直线 $x - y - 4 = 0$ 上，且圆 $C$ 与 $x$ 轴相切．

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、已知圆 $C_{1} ： {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ 与圆 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，过直线 $A B$ 上 $($ 除线段 $A B$ 部分 $)$ 一点 $P$ 分别作两圆的切线，切点分别为点 $E$ 、 $F$ ，求证： $|P E| = |P F|$ ．

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，由 $C$ 的上、下顶点，左、右焦点构成一个边长为 $\sqrt{2}$ 的正方形．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、直线 $l$ 过 $C$ 的右焦点 $F$ ，且和 $C$ 交于点 $A$ ， $B$ ，设 $O$ 是坐标原点，若三角形 $O A B$ 的面积是 $\frac{2}{3}$ ，求 $l$ 的方程．

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22. 如图，等腰梯形 $A B C D$ 中， $A D / / B C$ ， $A B = B C = C D = \frac{1}{2} A D = 2$ ，现以 $A C$ 为折痕把 $△ A B C$ 折起，使点 $B$ 到达点 $P$ 的位置，且 $P A ⊥ C D$ ．

(1)、证明：平面 $P A C ⊥$ 平面 $A C D$ ；

(2)、若 $M$ 为 $P D$ 上的一点，点 $P$ 到平面 $A C M$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，求平面 $A C M$ 与平面 $A C D$ 夹角的余弦值．

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