四川省成都市2024届高三上学期数学（理科）12月第一次诊断性检测试卷

试卷更新日期：2024-01-02 类型：月考试卷

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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 二项式 ${(1 + 3 x)}^{5}$ 的展开式中x的系数为（）

A、1 B、3 C、5 D、15

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2. 普法知识宣传小组打算从某小区的2000人中抽取25人进行法律知识培训，拟采取系统抽样方式，为此将他们一一编号为1～2000，并对编号由小到大进行分段，假设从第一个号码段中随机抽出的号码是2，那么从第三个号码段中抽出的号码为（）

A、52 B、82 C、162 D、252

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3. 已知复数 $z = \frac{1 - i}{i + i^{4}}$ （i为虚数单位），则z的虚部为（）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- i$ D、i

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4. 若数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 3$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n} - n + 1$ ，则 $a_{2} + a_{3} + a_{4} =$ （）

A、6 B、14 C、22 D、37

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5. 已知向量 $\vec{a} = (- 1 ， \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (2 ， 0)$ ，则 $c o s ⟨ \vec{a} ， \vec{b} ⟩ =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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6. 若实数x ， y满足 ${\begin{cases} 2 x - y \geq 0 \\ x - 2 y \leq 0 \\ 3 x + y - 1 \geq 0 \end{cases}$ ，则 $x + y$ 的最小值为（）

A、0 B、 $\frac{3}{7}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、1

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7. 已知函数 $f (x)$ 的大致图象如图所示，则 $f (x)$ 的解析式可以为（）

A、 $f (x) = \frac{2 x e^{x}}{e^{2 x} - 1}$ B、 $f (x) = \frac{2 x e^{x}}{e^{2 x} + 1}$ C、 $f (x) = \frac{- 4 x}{(x^{2} + 1) l n (| x | + 2)}$ D、 $f (x) = \frac{4 l n (| x | + 1)}{x^{2} + 1}$

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8. 已知平面 $α ， β ， γ$ ， $α ∩ β = a$ ， $γ ∩ β = b$ ，则 $α ∥ γ$ 是 $a ∥ b$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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9. 若 $a = l n (l n π)$ ， $b = \frac{2}{3} l n \frac{2}{3}$ ， $c = - \frac{1}{e}$ ，则（）

A、 $c < a < b$ B、 $b < c < a$ C、 $c < b < a$ D、 $b < a < c$

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10. 已知 $α \in (0 ， π)$ ，且 $2 s i n α - 4 c o s α = \sqrt{10}$ ，则 $t a n α =$ （）

A、 $- 3$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- 3$ 或 $\frac{1}{3}$

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11. 若 $x \in [0 ， + \infty)$ ， $x^{2} + a x + 1 \leq e^{x}$ 恒成立，则实数a的最大值为（）

A、e B、2 C、1 D、 $e - 2$

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12. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 4 \sqrt{3} y - 4 = 0$ 经过椭圆 $Ω ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，圆C和椭圆 $Ω$ 在第二象限的交点为N ， $\vec{N F_{1}} \cdot \vec{N F_{2}} = 16 \sqrt{3} - 24$ ，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.

13. 已知集合 $A = {x | | x | < 2}$ ， $B = {x | y = l g x}$ ，则 $A ∩ B =$ .

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14. 曲线 $f (x) = x^{3} + x^{2} + 1$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为.

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15. 记 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和.若 $S_{7} = 14$ ，且 $a_{3}$ ， $a_{4}$ ， $a_{6}$ 成等比数列，则 $a_{2024}$ 的值为.

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16. 已知 $S O_{1} = 2$ ，底面半径 $O_{1} A = 4$ 的圆锥内接于球O ，则经过S和 $O_{1} A$ 中点的平面截球O所得截面面积的最小值为.

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三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 如图，正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M为 $A A_{1}$ 的中点， $A B = 2$ ， $A A_{1} = 4$ .

(1)、求证： $C_{1} M ⊥$ 平面 $B D M$ ；

(2)、求二面角 $C_{1} - B D - M$ 的余弦值.

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18. 某校高中阶段实行体育模块化课程教学，在高一年级开设了篮球和羽毛球两个模块课程，从该校高一年级随机抽取的100名男生和100名女生中，统计出参加上述课程的情况如下：

男生
女生
总计
参加篮球模块课程人数
60
20
80
参加羽毛球模块课程人数
40
80
120
总计
100
100
200

(1)、根据上述列联表，是否有99.9%的把握认为该校高一年级体育模块化课程的选择与性别有关；

(2)、根据抽取的200名学生的模块化课程成绩，每个模块课程的前3名获得参加体育模块化教学推广大使的评选资格，若在有评选资格的6名学生中随机选出2人作为体育模块化课程教学的推广大使，记这两人中来自篮球模块化课程的人数为X ，求X的分布列和期望.
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.025
0.010
0.005
0.001
$k_{0}$
5.024
6.635
7.879
10.828

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19. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} s i n x c o s x + 2 c o s^{2} x - 1$ .在锐角 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C的对边分别是a ， b ， c ，且满足 $f (A) = 1$ .

(1)、求A的值；

(2)、若 $b = 1$ ，求 $2 a^{2} + b c$ 的取值范围.

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20. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为F.

(1)、已知过点F的直线 $l_{1}$ 与抛物线C相交于A ， B两点，求证：以 $A B$ 为直径的圆与直线 $x = - 1$ 相切；

(2)、若直线 $l_{2} ： y = x + m$ 交抛物线C于P ， Q两点，当 $△ P Q F$ 的面积为2时，求直线 $l_{2}$ 的方程.

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21. 已知函数 $f (x) = 2 e^{x} - a x$ ， $a \in R$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a = e$ 时，求证： $f (x) > e (1 - c o s x)$ .
请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.

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22. 选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知直线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{cases} x = 2 + t c o s α \\ y = t s i n α \end{cases}$ ，（t为参数， $0 < α < \frac{π}{2}$ ）.以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} c o s 2 θ = 2$ .

(1)、当 $α = \frac{π}{3}$ 时，求直线 $C_{1}$ 的普通方程；

(2)、已知点 $P (2 ， 0)$ ，若直线 $C_{1}$ 交曲线 $C_{2}$ 于A ， B两点，且 $| P A | \cdot | P B | = 4$ ，求 $α$ 的值.

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23. 选修4—5：不等式选讲
已知函数 $f (x) = | 2 x - a | + | x + 1 |$ ， $a \in R$ .

(1)、当 $a = 4$ 时，求不等式 $f (x) \geq 7$ 的解集；

(2)、若 $f (x) > 2 a$ ，求a的取值范围.

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	男生	女生	总计
参加篮球模块课程人数	60	20	80
参加羽毛球模块课程人数	40	80	120
总计	100	100	200

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	5.024	6.635	7.879	10.828