广东省江门市鹤山市重点中学2023-2024学年高二上学期数学第二阶段考试试卷

试卷更新日期：2024-01-02 类型：月考试卷

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一、单项选择题：本大题共8题，每题5分，共40分．

1. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 0 ， - 1) ， \vec{b} = (2 ， 1 ， 1) ， \vec{c} = (4 ， 1 ， - 1)$ ，且 $m \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{c}$ 共线，则 $m =$ （）

A、1 B、2 C、-1 D、-2

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2. 双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{7} = 1$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{\sqrt{7}}{3} x$ B、 $y = \pm \frac{3 \sqrt{7}}{7} x$ C、 $y = \pm \frac{4}{3} x$ D、 $y = \pm \frac{3}{4} x$

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3. 设 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{2} + a_{5} + a_{8} = 18$ ，则 $S_{9} =$ （）

A、36 B、45 C、54 D、63

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4. 圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 4$ 与圆 $M ： x^{2} + (y - 5)^{2} = 4$ 的公切线条数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 点 $P (2 ， 0)$ 关于直线 $l ： x + y + 1 = 0$ 的对称点 $Q$ 的坐标为（）

A、 $(- 1 ， - 3)$ B、 $(- 1 ， - 4)$ C、 $(4 ， 1)$ D、 $(2 ， 3)$

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6. 设等差数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}$ ， $T_{n}$ ，若 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{n + 2}{2 n + 1}$ ，则 $\frac{a_{10}}{b_{10}} =$ （）

A、 $\frac{4}{7}$ B、 $\frac{22}{41}$ C、 $\frac{3}{7}$ D、 $\frac{7}{13}$

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7. 南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔 $148 ． 5 m$ 时，相应水面的面积为 $140 ． 0 k m^{2}$ ；水位为海拔 $157 ． 5 m$ 时，相应水面的面积为 $180 ． 0 k m^{2}$ ，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔 $148 ． 5 m$ 上升到 $157 ． 5 m$ 时，增加的水量约为（ $\sqrt{7} \approx 2.65$ ）（）

A、 $1.0 \times 1 0^{9} m^{3}$ B、 $1.2 \times 1 0^{9} m^{3}$ C、 $1.4 \times 1 0^{9} m^{3}$ D、 $1.6 \times 1 0^{9} m^{3}$

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8. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上存在点 $P$ ，使得 $| P F_{1} | = 3 | P F_{2} |$ ，其中 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{4}]$ B、 $(\frac{1}{4} ， 1)$ C、 $(\frac{1}{2} ， 1)$ D、 $[\frac{1}{2} ， 1)$

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二、多项选择题：本大题共4题，每题5分，共20分．

9. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，公差 $d \neq 0$ .若 $S_{n} \leq S_{8}$ ，则（）

A、 $a_{1} < 0$ B、 $d < 0$ C、 $a_{8} = 0$ D、 $S_{17} \leq 0$

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10. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $D D_{1}$ 的中点，则（）

A、 $B D_{1} / /$ 平面 $A C E$ B、 $B D_{1} ⊥ A B_{1}$ C、若正方体的棱长为 $1$ ，则点 $B$ 到平面 $A C E$ 的距离为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、直线 $A D$ 与平面 $A C E$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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11. 已知曲线 $C$ 上任意一点到直线 $x = - 4$ 的距离比它到点 $F (2 ， 0)$ 的距离大 $2$ ，则下列结论正确的是（）

A、曲线 $C$ 的方程为 $y^{2} = 8 x$ B、若曲线 $C$ 上的一点 $A$ 到点 $F$ 的距离为 $4$ ，则点 $A$ 的纵坐标是4 C、已知曲线 $C$ 上的两点 $M$ ， $N$ 到点 $F$ 的距离之和为10，则线段 $M N$ 的中点横坐标是 $5$ D、已知 $A (3 ， 2)$ ， $P$ 是曲线 $C$ 上的动点，则 $| P A | + | P F |$ 的最小值为5

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12. 已知点 $P (x ， y)$ 是圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y + 4 = 0$ 上一动点，则下列说法正确的是（）

A、 $\frac{y}{x}$ 的最小值是0 B、 $\frac{y}{x}$ 的最大值为1 C、 $x^{2} + y^{2}$ 的最大值为 $2 \sqrt{2} + 2$ D、 $x - y$ 的最小值为 $- 2 \sqrt{2}$

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三、填空题：本大题共4题，每题5分，共20分．

13. 若向量 $\vec{a} = (1 ， - 1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (2 ， 1 ， - 3)$ ，则 $| 2 \vec{a} + \vec{b} | =$ ．

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14. 若两条平行直线 $l_{1} ： x - 2 y + m = 0 (m > 0)$ 与 $l_{2} ： 2 x + n y - 6 = 0$ 之间的距离是 $2 \sqrt{5}$ ，则 $m + n =$ ．

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = 3 n^{2} + 8 n + 1$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为.

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16. 已知正 $△ A B C$ 边长为1，将 $△ A B C$ 绕 $B C$ 旋转至 $△ D B C$ ，使得平面 $A B C ⊥$ 平面 $B C D$ ，则三棱锥 $D - A B C$ 的外接球表面积为．

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四、解答题：本大题共6题，第17题10分，18至22题每题12分，共70分．

17. 已知 $△ A B C$ 的顶点 $A (- 2 ， 4) ， B (4 ， - 6) ， C (5 ， 1)$ .

(1)、求 $A B$ 边上的中线所在直线的方程；

(2)、求经过点 $A$ ，且在 $x$ 轴上的截距和 $y$ 轴上的截距相等的直线的方程.

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18. 如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，以顶点A为端点的三条棱长度都为2，且两两夹角为 $60 °$ ．

(1)、求 $\vec{A C_{1}}$ 的长；

(2)、求 $\vec{B D_{1}}$ 与 $\vec{A C}$ 所成角的余弦值．

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19. 在平面直角坐标系 $x O y$ 内，动点 $M$ 与定点 $F_{2} (2 ， 0)$ 的距离和它到定直线 $x = 8$ 的距离的比是 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求动点 $M$ 的轨迹方程.

(2)、若 $P$ 为动点 $M$ 的轨迹上一点，且 $F_{1} (- 2 ， 0) ， ∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ ，求三角形 $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积.

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20. 已知等差数列 ${a_{n}}$ ，前 $n (n \in N^{*})$ 项和为 $S_{n}$ ，又 $a_{2} = 4 ， S_{9} = 90$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、设 $b_{n} = | 9 - a_{n} |$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $A D = P D = 2 C D = 2$ ， $P B = 3$ ，点 $E$ 为棱 $P C$ 上的点，且 $B C ⊥ D E$ .

(1)、证明： $A D ⊥ P D$ ；

(2)、若 $P E = 2 C E$ ，求直线 $D E$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值.

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22. 已知椭圆 $Γ ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点分别为 $A_{1} ， A_{2}$ ，上、下顶点分别为 $B_{2} ， B_{1} ， | B_{1} B_{2} | = 2 \sqrt{2}$ ，四边形 $A_{1} B_{1} A_{2} B_{2}$ 的周长为 $8 \sqrt{2}$ ．

(1)、求椭圆 $Γ$ 的方程；

(2)、设点 $F$ 为椭圆 $Γ$ 的左焦点，点 $T (- 3 ， m)$ ，过点 $F$ 作 $T F$ 的垂线交椭圆 $Γ$ 于点 $P ， Q$ ，连接 $O T$ 与 $P Q$ 交于点 $H$ ．试判断 $\frac{| P H |}{| H Q |}$ 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．

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