广东省江门市鹤山市重点中学2023-2024学年高一上学期数学第二阶段考试试卷

试卷更新日期：2024-01-02 类型：月考试卷

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一、单项选择题：本大题共8题，每题5分，共40分．

1. 集合 $A = {1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ， $B = {3 ， 4 ， 5 ， 6}$ ，则图中阴影部分表示的集合为（）

A、 $\emptyset$ B、 ${1 ， 2}$ C、 ${3 ， 4}$ D、 ${5 ， 6}$

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2. 已知 $x ， y \in R$ ，则“ $x y = 0$ ”是“ $x^{2} + y^{2} = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 设 $a = l g 0.2$ ， $b = l o g_{3} 2$ ， $c = 5^{\frac{1}{2}}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

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4. 函数 $f (x) = x^{3} - x - 5$ 的零点所在的区间是（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(3 ， 4)$

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5. 函数 $f (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 给定函数 $f (x) = x + 2 ， g (x) = 4 - x^{2} ，$ 对于 $\forall x \in R ，$ 用 $M (x)$ 表示 $f (x) ， g (x)$ 中的较小者，记为 $M (x) = \min {f (x) ， g (x)}$ ，则 $M (x)$ 的最大值为（）

A、0 B、1 C、3 D、4

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7. 若 $3^{x} = 5^{y} = k$ ，且 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 2$ ，则k的值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{15}$ C、15 D、225

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8. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{x + 2} - m | x |$ 有三个零点，则实数m的取值范围为（）

A、 $m > 1$ B、 $0 < m < 1$ C、 $1 < m < 2$ D、 $m < - 1$

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二、多项选择题：本大题共4题，每题5分，共20分．

9. 下列命题中，真命题的是（）

A、 $a > 1$ ， $b > 1$ 是 $a b > 1$ 的充分不必要条件 B、 $a + b = 0$ 的充要条件是 $\frac{a}{b} = - 1$ C、命题“ $\exists x \in R$ ，使得 $x^{2} + x + 1 < 0$ ”的否定是“ $\forall x \in R$ ，都有 $x^{2} + x + 1 \geq 0$ ” D、命题“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} + x + 1 \neq 0$ ”的否定是“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} + x + 1 = 0$ ”

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10. 下列函数中，既是偶函数，又在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增的为（）

A、 $f (x) = | x |$ B、 $f (x) = x^{3}$ C、 $f (x) = 2^{| x |}$ D、 $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + 2 ， x < 1 \\ - x^{2} + 3 ， x \geq 1 \end{array}$ ，关于函数 $f (x)$ 的结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 最大值为 $3$ B、 $f (0) = 2$ C、若 $f (x) = - 1$ ，则 $x = 2$ D、 $f (x) < 2$ 的解集为 $(- \infty ， 0) \cup (1 ， + \infty)$

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12. 下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x) = a^{x - 1} - 2$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图像恒过定点 $(1 ， - 2)$ B、若不等式 $a x^{2} + 2 x + c < 0$ 的解集为 ${x | x < - 1$ 或 $x > 2}$ ，则 $a + c = 2$ C、函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} + 16} + \frac{9}{\sqrt{x^{2} + 16}}$ 的最小值为6 D、函数 $g (x) = {(\frac{1}{2})}^{\sqrt{- x^{2} - x + 2}}$ 的单调增区间为 $[- \frac{1}{2} ， 1]$

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三、填空题：本大题共4题，每题5分，共20分．

13. 已知集合 $A = {a ， 1 ， 2 b}$ ， $B = {a^{2} ， b ， a + b}$ ，若 $0 \in A ∩ B$ ，则 $b =$ .

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14. 已知偶函数 $f (x)$ 在区间 $(- \infty ， 0]$ 上单调递减，且 $f (- 2) = 0$ ，则不等式 $(x - 1) f (x) < 0$ 的解集为.

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15. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上 $2000 m$ ，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速 $v$ (单位： $m / s$ )可以表示为 $v = \frac{1}{2} l o g_{3} \frac{O}{100}$ ，其中 $O$ 表示鱼的耗氧量的单位数.当一条鱼的耗氧量是 $2700$ 个单位时，它的游速是 $m / s$ .

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16. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} a^{x} ， x \geq 1 \\ (4 - \frac{a}{2}) x + 2 ， x < 1 \end{array}$ 满足对任意的实数 $x_{1} \neq x_{2}$ 都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题：本大题共6题，第17题10分，18至22题每题12分，共70分．

17.

(1)、计算： ${(2 \frac{1}{4})}^{0.5} - 0.7 5^{2} + 6^{- 2} \times {(\frac{8}{27})}^{- \frac{2}{3}}$ ；

(2)、已知 $a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}} = 3$ ，求 $\frac{a^{3} + a^{- 3} + 3}{a + a^{- 1} - 2}$ 的值．

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18. 已知函数 $f (x) = a - \frac{3}{2^{x} + 1}$ .

(1)、判断函数 $f (x)$ 的单调性，并证明你的结论；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间（ $- 1$ ， 1）上有零点，求a的取值范围.

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19. 已知命题：“ $\forall x \in [- 1 ， 3]$ ，都有不等式 $x^{2} - 4 x - m < 0$ 成立”是真命题.

(1)、求实数 $m$ 的取值集合 $A$ ；

(2)、设不等式 $x^{2} - 3 a x + 2 a^{2} \geq 0 (a \neq 0)$ 解集为 $B$ ，若 $x ∈ A$ 是 $x ∈ B$ 的充分条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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20. 某企业为了增加工作岗位和增加员工收入，投入90万元安装了一套新的生产设备，预计使用该设备后前 $n (n \in N *)$ 年的支出成本为 $(10 n^{2} - 5 n)$ 万元，每年的销售收入95万元．设使用该设备前 $n$ 年的总盈利额为 $f (n)$ 万元．

(1)、写出 $f (n)$ 关于 $n$ 的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；

(2)、使用若干年后对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以60万元的价格处理；
问哪种方案较为合理？并说明理由．

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21. 已知函数 $f (x) = (a^{2} - a - 1) x^{(1 - a) (2 + a)}$ 的幂函数 $(a \in R)$ ，且 $f (1) < f (2)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、试判断是否存在实数 $b$ ，使得函数 $g (x) = 3 - f (x) + 2 b x$ 在区间 $[- 1 ， 1]$ 上的最大值为6，若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = \ln (x + a) (a \in R)$ 的图象过点 $(1 ， 0)$ ， $g (x) = x^{2} - 2 e^{f (x)}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $y = f (x) + \ln (2 x - k)$ 在区间 $(1 ， 2)$ 上有零点，求整数k的值；

(3)、设 $m > 0$ ，若对于任意 $x \in [\frac{1}{m} ， m]$ ，都有 $g (x) < - \ln (m - 1)$ ，求m的取值范围.

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