广东省东莞外国语名校2023-2024学年高三上学期数学12月月考试卷

试卷更新日期：2024-01-02 类型：月考试卷

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一、单选题（40分，每小题5分，共八道）

1. 已知集合 $A = {x \in N | x^{2} - 2 x - 3 \leq 0}$ ， $B = {x \in R | l o g_{2023} x \leq 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(0 ， 1]$ B、 $[0 ， 1]$ C、 ${1}$ D、 $\emptyset$

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2. 复数 $z = \frac{1}{1 - i} + 2 + i$ 的虚部是（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、2 C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{3}{2} i$

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3. 在△ABC中，“ $\vec{A B} \cdot \vec{A C} > 0$ ”是“△ABC为锐角三角形”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 中国明代商人程大位对文学和数学颇感兴趣，他于60岁时完成杰作《直指算法统宗》．这是一本风行东亚的数学名著，该书第五卷有问题云：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”翻译成现代文为：今有白米一百八十石，甲、乙、丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少石米？请你计算甲应该分得（）

A、76石 B、77石 C、78石 D、79石

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5. 函数 $y = l o g_{a} (x + 4) + 2$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象恒过点 $A$ ，且点 $A$ 在角 $α$ 的终边上，则 $s i n 2 α =$ （）

A、 $- \frac{5}{13}$ B、 $- \frac{12}{13}$ C、 $\frac{12}{13}$ D、 $\frac{9}{13}$

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6. 已知向量 $\vec{a} = (m - 3 ， n)$ ， $\vec{b} = (2 ， - 1)$ （其中 $m > 0$ ， $n > 0$ ），若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线，则 $\frac{4}{m} + \frac{1}{2 n}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{9}{4}$ B、 $3$ C、 $\frac{46}{15}$ D、 $9$

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7. 如图，在 $Δ A B C$ 中，点 $M$ 为 $A C$ 的中点，点 $N$ 在 $A B$ 上， $\overset{⇀}{A N} = 3 \overset{⇀}{N B}$ ，点 $P$ 在 $M N$ 上， $\overset{⇀}{M P} = 2 \overset{⇀}{P N}$ ，那么 $\overset{⇀}{A P}$ 等于（）

A、 $\frac{2}{3} \overset{⇀}{A B} - \frac{1}{6} \overset{⇀}{A C}$ B、 $\frac{1}{3} \overset{⇀}{A B} - \frac{1}{2} \overset{⇀}{A C}$ C、 $\frac{1}{3} \overset{⇀}{A B} - \frac{1}{6} \overset{⇀}{A C}$ D、 $\frac{1}{2} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{6} \overset{⇀}{A C}$

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8. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ ， $△ P A C$ 是以AC为斜边的等腰直角三角形，且 $C B = 2 \sqrt{2}$ ， $A B = A C = \sqrt{6}$ ，二面角 $P - A C - B$ 的大小为 $120 °$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的外接球表面积为（）

A、 $\frac{5 \sqrt{10}}{3} π$ B、 $10 π$ C、 $9 π$ D、 $(4 + 2 \sqrt{3}) π$

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二、多选题（20分，每小题5分，少选漏选得2分，错选不得分）

9. 下列函数中，既是偶函数又在区间 $(0 ， + \infty)$ 单调递增的是（）

A、 $y = \cos x$ B、 $y = x^{2} + 1$ C、 $y = x^{3}$ D、 $y = \ln | x |$

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10. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 1$ 且 $| \vec{b} - 2 \vec{a} | = \sqrt{5}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $| \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{2}$ B、 $| \vec{a} + \vec{b} | = 2$ C、 $〈 \vec{a} ， \vec{b} 〉 = 60 °$ D、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{n} = 2 a_{n} + 1$ $(n \in N^{*})$ ，则下列选项中正确的是（）

A、 $a_{1} = - 1$ B、 $S_{5} = - 32$ C、数列 ${a_{n}}$ 是等比数列 D、数列 ${S_{n} - 1}$ 是等比数列

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12. 下列不等关系中，正确的是（）

A、 $l n 2 <$ $\frac{2}{e}$ B、 $\frac{l n 3}{l n π} < \frac{3}{π}$ C、 $\frac{e}{2}$ $> l n 3$ D、 $\sqrt{e}$ $> 2 - l n 2$

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三、填空题（20分，每小题5分）

13. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = 3 a_{n} + 4 ， a_{1} = 1$ ，则 $a_{n} =$ .

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14. 平面向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为60°， $\vec{a} = (2 ， 0)$ ， $| \vec{b} | = 1$ ，则 $| \vec{a} + 2 \vec{b} |$ 等于.

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15. 给图中六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色且相邻的区域不同色．若有4种不同的颜色可供选择，则共有种不同的染色方案．

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16. $A = (a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， \cdot \cdot \cdot ， a_{n})$ ， $a_{i} \in {- 1 ， 0 ， 1} {i = 1 ， 2 ， 3 ， \cdot \cdot \cdot ， n}$ 为一个有序实数组， $f (A)$ 表示把A中每个-1都变为 $- 1$ ， 0，每个0都变为 $- 1$ ， 1，每个1都变为0，1所得到的新的有序实数组，例如： $A = (- 1 ， 0 ， 1)$ ，则 $f (A) = (- 1 ， 0 ， - 1 ， 1 ， 0 ， 1)$ ．定义 $A_{k + 1} = f (A_{k})$ ， $k = 1 ， 2 ， 3 ， \cdot \cdot \cdot$ ，若 $A_{1} = (- 1 ， 1)$ ， $A_{n}$ 中有 $b_{n}$ 项为1，则 ${b_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和为．

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四、解答题（70分，17题10分，18-22题每题12分）

17. 已知 ${a_{n}}$ 为等差数列， ${b_{n}}$ 为等比数列， ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = 3 \cdot 2^{n} - 3$ ， $a_{1} = b_{1}$ ， $a_{7} + a_{16} = b_{5}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $c_{n} = \frac{a_{n} - 1}{b_{n}}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18. 已知平面直角坐标系中， $A (c o s x ， s i n x)$ ， $B (1 ， 1)$ ， $\vec{O A} + \vec{O B} = \vec{O C}$ ， $f (x) = | \vec{O C} |^{2}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和对称中心；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[0 ， 2 π]$ 上的单调递增区间．

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面 $P A D ⊥$ 底面ABCD ， M是PD的中点.

(1)、求证： $A M ⊥$ 平面PCD；

(2)、求平面BPD与平面 $P C D$ 夹角的余弦值.

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20. $Δ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $c c o s A + \sqrt{3} c s i n A = b + a$ .

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $D$ 在边 $B C$ 上，且 $B D = 3 D C$ ， $c o s B = \frac{11}{14}$ ， $S_{Δ A B C} = 10 \sqrt{3}$ ，求 $A D$ .

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21. 冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS）和严重急性呼吸综合征（SARS）等较严重疾病.而今年出现的新型冠状病毒（nCoV）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等，在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡.医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有 $n (n \in N^{*})$ 份血液样本，有以下两种检验方式：
方式一：逐份检验，则需要检验 $n$ 次.
方式二：混合检验，将其中 $k$ （ $k \in N^{*}$ 且 $k \geq 2$ ）份血液样本分别取样混合在一起检验.
若检验结果为阴性，这 $k$ 份的血液全为阴性，因而这 $k$ 份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这 $k$ 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这 $k$ 份再逐份检验，此时这 $k$ 份血液的检验次数总共为 $k + 1$ .假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为 $p (0 < p < 1)$ .

(1)、现有 $4$ 份血液样本，其中只有 $2$ 份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经 $2$ 次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率.

(2)、现取其中 $k$ （ $k \in N^{*}$ 且 $k \geq 2$ ）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为 $ξ_{1}$ ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次为 $ξ_{2}$ .
（i）若 $E ξ_{1} = E ξ_{2}$ ，试求 $p$ 关于 $k$ 的函数关系式 $p = f (k)$ ；
（ii）若 $p = 1 - \frac{1}{\sqrt[4]{e}}$ ，且采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求 $k$ 的最大值.
参考数据： $l n 2 \approx 0.6931$ ， $l n 3 \approx 1.0986$ ， $l n 5 \approx 1.6094$ .

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22. 定义在 $(- \frac{π}{2} ， + \infty)$ 上的函数 $f (x) = (x - k) s i n x$ .

(1)、当 $k = \frac{π}{6}$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(\frac{π}{6} ， 0)$ 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积；

(2)、将 $f (x)$ 的所有极值点按照从小到大的顺序排列构成数列 ${x_{n}}$ ，若 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = 0$ ，求 $k$ 的值.

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