广东省东莞市重点实验中学2023-2024学年高二上学期数学第三次月考试卷

试卷更新日期：2024-01-02 类型：月考试卷

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若直线过点(1，2)，(4，2＋ $\sqrt{3}$ )，则此直线的倾斜角是（）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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2. 已知曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ ，则其渐近线方程是（）

A、 $x \pm 4 y = 0$ B、 $2 x \pm y = 0$ C、 $x \pm y = 0$ D、 $x \pm 2 y = 0$

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3. 已知空间中直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{a} = (- 1 ， 1 ， 1)$ ，平面 $α$ 的法向量为 $\vec{b} = (2 ， x^{2} + x ， - x)$ ，若 $l / / α$ ，则实数 $x$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、 $\pm 2$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\pm \sqrt{2}$

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4. 如图所示，已知某梯子共有5级，从上往下数，第1级的宽为35厘米，第5级的宽为43厘米，且各级的宽度从小到大构成等差数列，则第3级的宽度是（）

A、39厘米 B、40厘米 C、41厘米 D、42厘米

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5. 双曲线 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{m} = 1$ （ $m > 0$ ）的离心率是 $\frac{5}{3}$ ，则实数 $m$ 的值是（）

A、12 B、16 C、20 D、24

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6. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，满足条件 $2 S_{n} - n^{2} - n = 0$ ，则 $a_{2023} + a_{2024}$ 的值是（）

A、4044 B、4045 C、4046 D、4047

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7. 已知线段 $A B$ 的端点 $B$ 的坐标 $(4 ， 3)$ ，端点 $A$ 在圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上运动，求线段 $A B$ 的中点 $M$ 的轨迹所围成图形的面积（）

A、 $4 π$ B、 $\sqrt{2} π$ C、 $π$ D、 $\frac{9}{4} π$

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8. 在两条异面直线 $a$ ， $b$ 上分别取点 $A_{1}$ ， $E$ 和点 $A$ ， $F$ ，使 $A A_{1} ⊥ a$ ，且 $A A_{1} ⊥ b$ .已知 $A_{1} E = 2$ ， $A F = 3$ ， $E F = 5$ ， $A A_{1} = \sqrt{6}$ ，则两条异面直线 $a$ ， $b$ 所成的角为（）

A、 $\frac{5 π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{6}$

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二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知直线 $l_{1}$ ： $4 x - 3 y + 4 = 0$ ， $l_{2}$ ： $(m + 2) x - (m + 1) y + 2 m + 5 = 0$ （ $m \in R$ ），则（）

A、直线 $l_{2}$ 过定点 $(- 2 ， - 1)$ B、当 $m = 1$ 时， $l_{1} ⊥ l_{2}$ C、当 $l_{1} / / l_{2}$ 时，两直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 之间的距离为1 D、当 $m = 2$ 时， $l_{1} / / l_{2}$

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10. 圆 $O_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} = 4$ 和圆 $O_{2}$ ： $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y = 0$ 的公共点为 $A$ ， $B$ ，则有（）

A、公共弦 $A B$ 所在直线方程为 $x - 2 y + 2 = 0$ B、公共弦 $A B$ 的长为 $\frac{8 \sqrt{5}}{5}$ C、线段 $A B$ 中垂线方程为 $2 x + y = 0$ D、 $∠ A O_{2} B < 90 °$

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11. 已知曲线 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{25 - k} + \frac{y^{2}}{9 + k} = 1$ ，则 $C$ 可能是（）

A、半径为 $\sqrt{17}$ 的圆 B、焦点在 $x$ 上的椭圆，且长轴长为 $\sqrt{25 - k}$ C、等轴双曲线 D、焦点在 $y$ 上的双曲线，且焦距为 $2 \sqrt{2 k - 16}$

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12. 如图，棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为线段 $A_{1} B$ 上的动点（不含端点），则下列说法中正确的是（）

A、平面 $A_{1} D_{1} P ⊥$ 平面 $A_{1} A P$ B、多面体 $C D P D_{1}$ 的体积为定值 C、 $△ A P D_{1}$ 恒为锐角三角形 D、直线 $D_{1} P$ 与 $B C$ 所成的角可能为 $\frac{π}{6}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 使得“对于任意 $n \in N^{*}$ ， $a_{n} = λ n - λ$ 是递减数列”为真命题的整数 $λ$ 值是.（写出一个符合要求的答案即可）

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14. 如图，在空间平移 $△ A B C$ 到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，连接对应顶点.设 $\vec{A A^{'}} = \vec{a}$ ， $\vec{A B} = \vec{b}$ ， $\vec{A C} = \vec{c}$ ， $M$ 为 $A^{'} C^{'}$ 中点，则用基底 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 表示向量 $\vec{B M} =$ .

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15. 数学家欧拉1765在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知 $△ A B C$ 的顶点分别为 $A (3 ， 0)$ ， $B (3 ， 3)$ ， $C (0 ， 0)$ ，则 $△ A B C$ 的欧拉线方程是.

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16. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 作直线交两条渐近线于点 $A$ 、 $B$ ，且 $\vec{A F_{1}} = \frac{3}{2} \vec{B F_{1}}$ ，若点 $A$ 在 $x$ 轴上的射影为 $M$ ，则 $\frac{S_{△ A F_{1} M}}{S_{△ B F_{1} F_{2}}} =$ .

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四、解答题：本题共6小题，其中第17题10分，其他题12分，共70分.

17. 记 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{1} = S_{4} = - 4$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、求使 $S_{n} > a_{n}$ 成立的 $n$ 的最小值.

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18. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C ⊥ B C$ ， $E$ 为 $B B_{1}$ 的中点， $A B = C C_{1} = 2 B C = 2$ .

(1)、求异面直线 $A E$ 与 $C C_{1}$ 夹角的余弦值

(2)、求点 $C$ 平面 $A E C_{1}$ 的距离.

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19. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ）经过点 $(1 ， - 1)$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的方程及其焦点坐标、准线方程；

(2)、过抛物线 $C$ 上一动点 $P$ 作圆 $M$ ： ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1$ 的一条切线，切点为 $A$ ，求切线长 $| P A |$ 的最小值.

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20. 在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面正方形 $B B_{1} C_{1} C$ 的中心为点 $M$ ， $A_{1} M ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ，且 $B B_{1} = \sqrt{2}$ ， $A B = \sqrt{3}$ ，点 $E$ 满足 $\vec{A_{1} E} = λ \vec{A_{1} C_{1}}$ （ $0 \leq λ \leq 1$ ）.

(1)、求直线 $B C_{1}$ 与平面 $A B C$ 的夹角正弦值；

(2)、若平面 $A B C$ 与平面 $B_{1} C E$ 的夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求 $λ$ 的值.

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21. 在我国960万平方千米的大地之下拥有超过35000座，总长接近赤道长度的隧道（约37000千米）.这些隧道样式多种多样，它们或傍山而过，上方构筑顶棚形成“明洞”；或挂于峭壁，每隔一段开出“天窗”形成挂壁公路.但是更多时候它们都隐伏于山体之中，只露出窄窄的出入口洞门.东莞某学生学过圆的知识后受此启发，为山体隧道设计了一个圆弧形洞门样式，如图所示，路宽 $A B$ 为16米，洞门最高处距路面4米.

(1)、建立适当的平面直角坐标系，求圆弧 $A B$ 的方程.

(2)、为使双向行驶的车辆更加安全，该同学进一步优化了设计方案，在路中间建立了2米宽的隔墙.某货车装满货物后整体呈长方体状，宽2米，高3.6米，则此货车能否通过该洞门？并说明理由.

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22. 已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）经过三点 $(0 ， 1)$ ， $(1 ， 1)$ ， $(- \sqrt{2} ， 0)$ 中的两点.

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、过 $E$ 的右焦点的直线 $l$ 与 $E$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，在直线 $x = 2$ 上是否存在一点 $D$ ，使得 $△ A B D$ 是以 $A B$ 为斜边的等腰直角三角形？若存在，求出 $l$ 的方程；若不存在，请说明理由.

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