广东省广州市名校2023-2024学年高一上学期数学12月阶段训练（二）试卷

试卷更新日期：2024-01-02 类型：月考试卷

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合 $A = {x | y = \sqrt{2 x - x^{2}}}$ ， $B = {y | y = 2^{x}}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(0 ， 2)$ B、 $[0 ， 2]$ C、 $(1 ， 2]$ D、 $(0 ， 2]$

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2. 已知 $α$ 为钝角，且 $s i n α = \frac{3}{5}$ ，则 $c o s (3 π + α) =$ （）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $- \frac{4}{5}$

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3. 已知 $f (x + 1)$ 是偶函数，任意 $x_{1} \in (- \infty ， 1] ， x_{2} \in (- \infty ， 1]$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，满足 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ ， $f (0) = 0$ ，则 $f (2 - x) > 0$ 的解集是（）

A、 $(- \infty ， 0) ∪ (2 ， + \infty)$ B、 $(0 ， 2)$ C、 $(- \infty ， 0)$ D、 $(2 ， + \infty)$

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4. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积 $= \frac{1}{2} \times$ （弦×矢 $+$ 矢×矢），弧田是由圆弧（简称为弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（简称为弧田弦）围成的平面图形，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角 $\frac{2 π}{3}$ ，弦长为 $4 \sqrt{3}$ 米的弧田，则按上述经验公式计算所得弧田的面积约是（）平方米（注： $\sqrt{3} \approx 1.73 ， π \approx 3.14$ ）

A、6 B、9 C、10 D、12

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5. 用二分法求方程x²＝2的正实根的近似解(精确度0.001)时，如果我们选取初始区间是[1.4，1.5]，则要达到精确度至少需要计算的次数是（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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6. 一种药在病人血液中的量保持在 $500 m g$ 以上时才有疗效，而低于 $100 m g$ 时病人就有危险．现给某病人的静脉注射了这种药 $2500 m g$ ，如果药在血液中以每小时 $20 %$ 的比例衰减，以保证疗效，那么下次给病人注射这种药的时间最迟大约是（）（参考数据： $l g 2 \approx 0.3010$ ）

A、5小时后 B、7小时后 C、9小时后 D、11小时后

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7. 已知 $a = 3 l o g_{8} 3 ， b = l o g_{3} 4 ， c = 3^{1 - l o g_{3} 2}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > a > b$ C、 $a > c > b$ D、 $c > b > a$

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8. 若θ∈ $(0 ， \frac{π}{2})$ ，则 $y = \frac{1}{\sin^{2} θ} + \frac{9}{\cos^{2} θ}$ 的取值范围为（）

A、[6，＋∞) B、[10，＋∞) C、[12，＋∞) D、[16，＋∞)

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.

9. 下面命题正确的是（）

A、设 $x ， y \in R$ ，则“ $x ≥ 1$ 且 $y \geq 1$ ”是“ $x + y \geq 2$ ”的必要不充分条件 B、设 $a ， b \in R$ ，则“ $a \neq 0$ ”是“ $a b \neq 0$ ”的必要不充分条件 C、命题“ $\forall x \in R ， 3^{x} > x^{2} + 1$ ”的否定是“ $\exists x \in R ， 3^{x} < x^{2} + 1$ ”； D、“ $\exists x \in (0 ， + \infty) ， λ x > x^{2} + 1$ ”是假命题，则 $λ \leq 2$

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10. 已知 $s i n x = \frac{3}{5} ， x \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，则（）

A、 $s i n (π - x) = \frac{3}{5}$ B、 $c o s (x - π) = \frac{4}{5}$ C、 $s i n (\frac{π}{2} - x) = \frac{4}{5}$ D、 $c o s (x - \frac{3 π}{2}) = \frac{4}{5}$

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11. 关于函数 $y = \frac{2 x + 1}{x - 3}$ 的性质描述，正确的是（）

A、 $f (x)$ 的定义域为 $(- \infty ， 3) ∪ (3 ， + \infty)$ B、 $f (x)$ 的值域为 $(- \infty ， 2) ∪ (2 ， + \infty)$ C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(3 ， 2)$ 对称 D、 $f (x)$ 在定义域上是减函数

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12. 定义在 $(- \infty ， 0) ∪ (0 ， + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ ，对于任意的 $x ， y$ 都有 $f (x y) = f (x) + f (y) - 1$ ；且 $f (2) = 3$ ；当 $x > 1$ 时， $f (x) > 1$ ；则下列结论正确的是（）

A、 $f (1) = 1$ B、 $f (x)$ 是奇函数 C、 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增 D、 $f (x - 1) > 7$ 的解集为 ${x ∣ x < - 7 或 x > 9}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知角 $α$ 的始边与 $x$ 轴正半轴重合，终边落在直线 $x + 2 y = 0$ 上，则 $\frac{s i n α + c o s α}{s i n α - c o s α} =$ ．

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14. 已知 $y = l o g_{a} (3 - 2 a x)$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）在 $[0 ， 1]$ 上单调递减，则实数a的取值范围为．

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15. 定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ ，当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = 2^{x} - 1$ ，则 $f (l o g_{2} \frac{2}{3})$ 的值为．

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16. 已知正实数 $x ， y$ 满足方程 $e^{2 x - 1} + 2 x = e^{3 - y} + 4 - y$ ，则 $\frac{x}{y} + \frac{1}{x}$ 的最小值为．

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.

(1)、计算： $3^{1 + l o g_{3} 6} - 2^{4 + l o g_{2} 3} + 1 0^{3 l g 3} + {(\frac{1}{9})}^{l o g_{3} 4}$

(2)、已知 $a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}} = 3$ ，求 $\frac{a^{2} + a^{- 2} + 3}{a + a^{- 1} - 2}$ 的值.

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18. 已知f（α）= $\frac{\sin (5 π - α) \cos (π + α) \cos (\frac{3 π}{2} + α)}{\cos (α + \frac{π}{2}) \tan (3 π - α) \sin (α - \frac{3 π}{2})}$

(1)、化简f（α）；

(2)、若α是第三象限角，且 $\cos (\frac{3 π}{2} - α) = \frac{3}{5}$ ，求f（α）的值．

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19. 已知函数 $y = f (x)$ 是定义在 $(0 ， + \infty)$ 上的增函数，满足 $f (2) = 1$ ，且对任意的 $x_{1} ， x_{2}$ 都有 $f (x_{1} x_{2}) = f (x_{1}) + f (x_{2})$ ．

(1)、求 $f (4)$ 的值；

(2)、求不等式 $f (x) + f (x + 2) \leq 2$ 的解集．

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20. 已知某工厂生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产x千件，需另投入成本 $C (x)$ ．当年产量不足50千件时， $C (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 20 x$ （万元）；年产量不小于50千件时， $C (x) = 51 x + \frac{3600}{x} - 600$ （万元）．每千件商品售价为50万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．

(1)、写出年利润 $L (x)$ （万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；

(2)、当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？

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21. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} (2^{x} + k) (k \in R)$ ．

(1)、当 $k = - 4$ 时，解不等式 $f (x) > 2$ ；

(2)、若函数 $f (x)$ 的图象过点 $P (0 ， 1)$ ，求函数 $g (x) = f (x) - x$ 的值域．

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22. 我们知道，函数 $y = f (x)$ 的图象是关于坐标原点的中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 $y = f (x)$ 的图象是关于点 $P (a ， b)$ 的中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数.

(1)、求函数 $f (x) = \frac{1}{2^{x} + 1} (x \in R)$ 的对称中心；

(2)、函数 $g (x) = | \frac{1}{x} + m |$ ，若对任意 $x_{1} \in [5 ， 6]$ ，都存在 $x_{2} \in [0 ， 2]$ ，使得 $g (x_{1}) = f (x_{2})$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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