浙江省杭州市淳安县重点中学2023-2024学年高二上学期数学12月月考试卷

试卷更新日期：2024-01-02 类型：月考试卷

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 若集合 $M = {x ∣ \sqrt{x} < 4} ， N = {x ∣ 3 x \geq 1}$ ，则 $M ∩ N =$ （）

A、 ${x | 0 \leq x < 2}$ B、 ${x | \frac{1}{3} \leq x < 2}$ C、 ${x | 3 \leq x < 16}$ D、 ${x | \frac{1}{3} \leq x < 16}$

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2. 若复数 $z = a^{2} - 4 + (a - 2) i$ 为纯虚数，则实数 $a$ 的值为（）

A、2 B、2或 $- 2$ C、 $- 2$ D、 $- 4$

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3. 在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，所有棱长均为2，点 $M ， N$ 分别为 $A B ， B C$ 的中点，则异面直线 $A_{1} M$ 与 $B_{1}^{} N$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{7}{10}$

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4. 函数 $y = 2 {sin}^{2} (x - \frac{π}{4}) - 1$ 是（）

A、最小正周期为 $π$ 的奇函数 B、最小正周期为 $π$ 的偶函数 C、最小正周期为 $\frac{π}{2}$ 的奇函数 D、最小正周期为 $\frac{π}{2}$ 的偶函数

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5. “忽登最高塔，眼界穷大千.卞峰照城郭，震泽浮云天.”这是苏东坡笔下的湖城三绝之一“塔里塔”飞英塔.某学生为测量其高度，在远处选取了与该建筑物的底端B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得 $∠ B C D = 45 °$ ， $∠ B D C = 105 °$ ， $C D = 18$ 米，在点C处测得飞英塔顶端A的仰角 $∠ A C B = 58 °$ ，则飞英塔的高度约是（）（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.4$ ， $\sqrt{6} \approx 2.4$ ， $t a n 58 ° \approx 1.6$ ）

A、45米 B、50米 C、55米 D、60米

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6. 已知 $O (0 ， 0)$ ， $A (3 ， 0)$ ，圆 $C$ ： ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 上有且仅有一个点 $P$ 满足 $| P A | = 2 | P O |$ ，则 $r$ 的取值可以为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 已知 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ 是双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点， $P$ 是 $C$ 上一点，当 $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ 时， $| O P | = \sqrt{5} b$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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8. 如图，棱长为3的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P为正方体表面BCC₁B₁上的一个动点，E ， F分别为BD₁的三等分点，则 $| P E | + | P F |$ 的最小值为（）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{11}$ C、 $1 + \sqrt{6}$ D、 $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9. 已知空间向量 $\vec{a} = (2 ， - 1 ， 3)$ ， $\vec{b} = (- 4 ， 2 ， x)$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x = \frac{10}{3}$ B、若 $3 \vec{a} + \vec{b} = (2 ， - 1 ， 10)$ ，则 $x = 1$ C、若 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{3} \vec{b}$ ，则 $x = 4$ D、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角为锐角，则 $x \in (\frac{10}{3} ， + \infty)$

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10. 已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A、B，满足 $n (Ω) = 32$ ， $n (A) = 16$ ， $n (B) = 8$ ， $n (A \cup B) = 20$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $P (A) = \frac{1}{2}$ B、 $P (A B) = \frac{1}{8}$ C、A与B互斥 D、A与B相互独立

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11. 设函数 $f (x) = s i n (2 x + \frac{π}{6}) + c o s (2 x - \frac{π}{3})$ ，则（）

A、函数 $f (x - \frac{π}{12})$ 是偶函数 B、函数 $f (x - \frac{π}{12})$ 是奇函数 C、函数 $f (x)$ 的图象可由函数 $y = 2 s i n 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位得到 D、函数 $y = | f (x) |$ 在区间 $[\frac{k π}{2} + \frac{π}{6} ， \frac{k π}{2} + \frac{5 π}{12}] (k \in Z)$ 上单调递增

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12. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $P$ 在抛物线上，则（）

A、过点 $A (0 ， 2)$ 且与抛物线只有一个公共点的直线有且仅有两条 B、设点 $B (3 ， 2)$ ，则 $| P B | - | P F |$ 的最大值为 $2 \sqrt{2}$ C、点 $P$ 到直线 $x - y + 3 = 0$ 的最小距离为 $\sqrt{2}$ D、点 $P$ 到直线 $4 x - 3 y + 6 = 0$ 与点 $P$ 到 $y$ 轴距离之和的最小值为 $1$

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三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 已知直线 $l ： x + a y + 2 = 0$ ，直线 $m ： x - 2 y - 3 = 0$ ，若 $l ⊥ m$ ，则 $a =$ .

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14. 已知 $O (0 ， 0 ， 0)$ ， $A (- 2 ， 2 ， - 2)$ ， $B (1 ， 4 ， - 6)$ ， $C (x ， - 8 ， 8)$ ，若 $O 、 A 、 B 、 C$ 四点共面，则 $x$ ＝．

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15. 在三棱锥 $O - A B C$ 中，已知 $∠ A O B = ∠ A O C = ∠ B O C = 90 °$ ， $O A = O B = O C$ ，若点 $D$ 是线段 $B C$ 延长线上的一动点，则直线 $A D$ 与平面 $A O B$ 所成的角的正弦值的最大值为.

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16. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上一点A关于原点的对称点为B ， F为其右焦点，若 $A F ⊥ B F$ ，设 $∠ A B F = α$ ，且 $α \in [\frac{π}{6} ， \frac{π}{4}]$ ，则该椭圆离心率e的最大值为.

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知点 $A (1 ， 2)$ ，圆C： $x^{2} + y^{2} + 2 m x + 2 y + 2 = 0$ .

(1)、若过点.A可以作两条圆的切线，求m的取值范围；

(2)、当 $m = - 2$ 时，过直线 $2 x - y + 3 = 0$ 上一点P作圆的两条切线PM､PN，求四边形PMCN面积的最小值.

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18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ， $(2 b - c) c o s A = a c o s C$ ．

(1)、求A的大小；

(2)、若 $a = \sqrt{7} ， b = 2$ ，求 $B C$ 边上的高．

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19. 树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某市推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65），得到的频率分布直方图如图所示

(1)、求出a的值；

(2)、求这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；

(3)、现在要从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行问卷调查，求这2人恰好在同一组的概率．

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20. 如图，在四边形ABCD中（如图1）， $∠ B A C = ∠ B C D = 90 °$ ， $A B = A C$ ， $B C = C D$ ， $E$ ， F分别是边BD，CD上的点，将 $△ A B C$ 沿BC翻折，将 $△ D E F$ 沿EF翻折，使得点 $D$ 与点 $A$ 重合（记为点 $P$ ），且平面 $P B C ⊥$ 平面BCFE（如图2）

(1)、求证： $C F ⊥ P B$ ；

(2)、求二面角 $P - E F - B$ 的余弦值．

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21. 近年来，受全球新冠肺炎疫情影响，不少外贸企业遇到展会停办、订单延期等困难，在该形势面前，某城市把目光投向了国内大市场，搭建夜间集市，不仅能拓宽适销对路的出口产品内销渠道，助力外贸企业开拓国内市场，更能推进内外贸一体化发展，加速释放“双循环”活力.某夜市的一位文化工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（按30天计），每件的销售价格 $f (x)$ （单位：元）与时间 $x$ （单位：天） $(1 \leq x \leq 30 ， x \in N^{*})$ 的函数关系满足 $f (x) = 10 + \frac{k}{x}$ （ $k$ 为常数，且 $k > 0$ ），日销售量 $g (x)$ （单位：件）与时间 $x$ 的部分数据如右表所示：
设该文化工艺品的日销售收入为 $M (x)$ （单位：元），且第15天的日销售收入为1057元.
$x$
15
20
25
30
$g (x)$
105
110
105
100

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、给出以下四种函数模型：
① $g (x) = a x + b$ ；② $g (x) = a | x - m | + b$ ；③ $g (x) = a \cdot b^{x}$ ；④ $g (x) = a \cdot l o g_{b} x$
请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量 $g (x)$ 与时间 $x$ 的变化关系，并求出该函数的解析式；

(3)、利用问题（2）中的函数 $g (x)$ ，求 $M (x)$ 的最小值.

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22. 已知离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $A (1 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设直线 $l ： y = k (x - 1)$ 与椭圆 $C$ 交于不同的两点 $E 、 F$ ，直线 $A E 、 A F$ 分别交直线 $x = 3$ 于点 $M 、 N$ .当 $△ A M N$ 面积为8时，求 $k$ 的值.

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$x$	15	20	25	30
$g (x)$	105	110	105	100