四川省成都市天府七中2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷

试卷更新日期：2024-01-02 类型：期中考试

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一、选择题。（本大题共8个小题，每小题4分，共32分。选出正确的答案并填涂在答题卡上.）

1. 砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（　　）

A、 B、 C、 D、

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2. 已知α为锐角，且 $s i n (α - 1 0^{°}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则α等于（　　）

A、70° B、60° C、40° D、30°

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3. 如图，△AOB与△COD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，若A（2，1），则点C的坐标为（　　）

A、（1，2） B、（2，1） C、（2，4） D、（4，2）

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4. 在平面直角坐标系中，反比例函数y＝ $- \frac{6}{x}$ 的图象的两支分别位于（　　）

A、第一、第二象限 B、第一、第三象限 C、第二、第三象限 D、第二、第四象限

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5. 下列说法中正确的是（）

A、对角线相等的四边形是矩形 B、对角线互相垂直的四边形是正方形 C、平行四边形的对角线平分一组对角 D、矩形的对角线相等且互相平分

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6. 一个不透明的口袋中装有n个白球，为了估计白球的个数，向口袋中加入3个红球，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在10%附近，则n的值为（　　）

A、27 B、30 C、33 D、36

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7. 如图，已知△ADE∽△ACB ，若AB＝10，AC＝8，AD＝4，则AE的长是（　　）

A、3.2 B、4 C、5 D、20

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8. 已知二次函数y＝ax²+2ax﹣3a（a是常数且a＞0），下列结论不正确的是（　　）

A、开口向上 B、对称轴x＝﹣1 C、顶点坐标（﹣1，﹣3a） D、与x轴有两个交点

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二、填空题。（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）

9. 分解因式：xy²﹣16x＝．

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10. 若关于x的一元二次方程x²﹣6x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．

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11. 如图，为测量学校旗杆高度，小艺同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端，已知小艺的眼睛离地面高度为1.6米，同时量得小艺与镜子的水平距离为2米，镜子与旗杆的水平距离为10米．则旗杆的高度为米．

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12. 已知点A（﹣1，y₁），B（2，y₂）在二次函数y＝x²﹣6x+c的图象上，则y₁y₂（填“＞”“＜”或“＝”）．

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13. 如图，已知线段AB＝8，分别以A ， B为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ AB为半径画弧交于点P ， Q ，作直线PQ ，连接PA ， PB ， QA ， QB ．若AP＝5，则四边形APBQ的面积为．

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三、解答题。（本大题共5个小题，共48分）

14.

(1)、计算： ${(1 - \sqrt{3})}^{0} + | - \sqrt{2} | - 2 c o s 4 5^{°} + {(\frac{1}{4})}^{- 1}$ ；

(2)、解方程：3x²﹣6x﹣1＝0．

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15. 2019年11月，联合国教科文组织将每年的3月14日定为“国际数学日”，也被许多人称为“π节”．我区某校在今年的“数学π节”活动中开展了如下四项活动：A ．趣味魔方；B ．折纸活动；C ．数独比赛；D ．唱响数学．为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：

(1)、这次被调查的学生共有人；

(2)、请补全条形统计图；

(3)、在数独比赛项目中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中随机选取两名参加数独决赛，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．

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16. 第31届世界大学生运动会于2023年7月28日在成都举行，主火炬塔位于东安湖体育公园，亮灯之夜，塔身通体透亮，10余道象征太阳光芒的螺旋线全部点亮，璀璨绚丽，流光溢彩（如图1）．小杰同学想要通过测量及计算了解火矩塔CD的大致高度，当他步行至点A处，测得此时塔顶C的仰角为42°，再步行20米至点B处，测得此时塔顶C的仰角为65°（如图2所示，点A ， B ， D在同一条直线上），请帮小杰计算火矩塔CD的高．（sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.10，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，结果保留整数）

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17. 如图，AB∥CD ， AC与BD交于点E ，且AB＝6，AE＝3，AC＝12．

(1)、求CD的长．

(2)、求证：△ABE∽△ACB ．

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18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+b与双曲线 $y = \frac{m}{x} (m \neq 0)$ 交于A ， B两点，与y轴交于点C ，与x轴交于点D ，其中点A的坐标为（1，3）．

(1)、求双曲线和直线AB的表达式；

(2)、将直线AB向下平移，当平移后的直线A'B'与双曲线只有一个交点时，请求出直线A'B'的解析式；

(3)、在y轴上是否存在点P使得∠APD＝45°？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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四、填空题。（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）

19. 若ab≠0，且3a+2b＝0，则 $\frac{2 a + b}{b}$ 的值是．

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20. 设x₁ ， x₂是一元二次方程x²+x﹣2023＝0的两个根，则 $x_{1}^{2}$ +2x₁+x₂＝．

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21. 已知点A、B分别在反比例函数y＝ $\frac{2}{x}$ （x＞0），y＝﹣ $\frac{8}{x}$ （x＞0）的图象上，且OA⊥OB ，则tanB为．

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22. 对于一个函数，当自变量x取a时，函数值y也等于a ，则称点（a ， a）是这个函数的同值点，已知二次函数y＝x²+3x+m ．
⑴若点（2，2）是此函数的同值点，则m的值为．
⑵若此函数有两个相异的同值点（a ， a）、（b ， b），且a＜1＜b ，则m的取值范围为．

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23. 如图，正方形ABCD的边长为8，点E ， F分别是边BC ， CD上的动点，且BE＝CF ，连接AE ， BF交于点G ，点H为AG上一点，且BG＝GH ，连接DH ，则DH的最小值为．

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五、解答题。（本大题共3个小题，共30分）

24. 杭州亚运会吉祥物组合名为“江南忆”，三个吉祥物以机器人作为整体造型，融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因，既有深厚的文化底蕴又充满了时代活力．某商家购进了A、B两种类型的吉祥物纪念品，已知每套A型纪念品比每套B型纪念品的多20元，1套A型纪念品与2套B型纪念品共200元．

(1)、求A、B两种类型纪念品的进价；

(2)、该商家准备购进A型纪念品m套，均以每套n元的价格全部售完，且m与n之间的关系满足一次函数m＝﹣ $\frac{1}{2}$ n+90，物价局规定该纪念品利润率不能高于50%，问n的值为多少时，A型纪念的销售总利润最大？最大利润是多少？

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25. 如图1，经过原点O的抛物线y＝ax²+bx（a、b为常数，a≠0）与x轴相交于另一点A（4，0）．在第一象限内与直线y＝x交于点B（5，t），抛物线的顶点为C点．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、抛物线上是否存在点D ，使得∠DOB＝∠OBC？若存在，求出所有点D的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)、如图2，点E是点B关于抛物线对称轴的对称点，点F是直线OB下方的抛物线上的动点，EF与直线OB交于点G ．设△BFG和△BEG的面积分别为S₁和S₂ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最大值．

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26. 综合与实践

(1)、【操作发现】如图1，诸葛小组将正方形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形内部的点M处，折痕为AE ，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF ，求∠EAF的正切值；

(2)、【拓展探究】如图2，孔明小组继续将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点恰好落在折痕AE上的点N处，连接NF交AM于点P ，若 $A B = \sqrt{3}$ ，求线段PM的长；

(3)、【迁移应用】如图3，在矩形ABCD中，点E ， F分别在边BC ， CD上，将矩形ABCD沿AE ， AF折叠，点B落在点M处，点D落在点G处，点A ， M ， G恰好在同一直线上，若点F为CD的三等分点，AB＝3，AD＝5，请求出线段BE的长．

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