四川省绵阳市江油市2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷

试卷更新日期：2024-01-02 类型：期中考试

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一、选择题：（每小题3分，共36分，每小题给出四个答案中，只有一个符合题目要求，请把你认为正确的题号填入题后面的括号内）

1. 将方程x²+5x＝7化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，则一次项系数、常数项分别为（　　）

A、5，﹣7 B、5，7 C、﹣5，7 D、﹣5，﹣7

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2. 下列函数中，是二次函数的有（　　）
① $y = 1 - \sqrt{2} x^{2}$ ；
② $y = \frac{1}{x^{2}}$ ；
③y＝3x（1﹣3x）；
④y＝（1﹣2x）（1+2x）．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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3. 用数学的眼光观察下列图形，是中心对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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4. 用绳子围成周长为10（m）的矩形，记矩形的一边长为x（m），面积为S（m²）．当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数关系是（）

A、一次函数关系 B、二次函数关系 C、反比例函数关系 D、正比例函数关系

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5. 用配方法解一元二次方程3x²+6x﹣1＝0时，将它化为（x+a）²＝b的形式，则a+b的值为（　　）

A、 $\frac{10}{3}$ B、 $\frac{7}{3}$ C、2 D、 $\frac{4}{3}$

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6. 小王同学在求一元二次方程﹣2x²+4x+1＝0的近似根时，先在平面直角坐标系中作出了二次函数y＝﹣2x²+4x+1的图象（如图），接着观察图象与x轴的交点A和B的位置，然后得出该一元二次方程两个根的范围是﹣1＜x₁＜0，2＜x₂＜3，小王同学的这种方法运用的主要数学思想是（　　）

A、数形结合思想 B、类比思想 C、公理化思想 D、模型思想

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7. 若方程（m﹣1）x^|^m^|+1﹣2x＝3是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　）

A、1 B、﹣1 C、±1 D、不存在

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8. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（）

A、3（x﹣1）x＝6210 B、3（x﹣1）＝6210 C、（3x﹣1）x＝6210 D、3x＝6210

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9. 将抛物线y=2x²向上平移1个单位，再向右平移2个单位，则平移后的抛物线为（）

A、y=2（x+2）²+1 B、y=2（x﹣2）²+1 C、y=2（x+2）²﹣1 D、y=2（x﹣2）²﹣1

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10. 如图：已知点A的坐标为 $(- 2 \sqrt{3} ， 2)$ ，菱形ABCD的对角线交于坐标原点O ，则C点的坐标是（　　）

A、 $(- 2 \sqrt{3} ， - 2)$ B、 $(2 \sqrt{3} ， - 2)$ C、 $(2 ， - 2 \sqrt{3})$ D、（﹣2，﹣2）

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11. 代数式4x²+y²﹣2y﹣4x+15的最小值是（　　）

A、15 B、9 C、13 D、10

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12. 关于x的一元二次方程ax²+bx+ $\frac{1}{2}$ ＝0有一个根是﹣1，若二次函数y＝ax²+bx+ $\frac{1}{2}$ 的图象的顶点在第一象限，设t＝2a+b ，则t的取值范围是（　　）

A、 $\frac{1}{4}$ ＜t＜ $\frac{1}{2}$ B、﹣1＜t≤ $\frac{1}{4}$ C、﹣ $\frac{1}{2}$ ≤t＜ $\frac{1}{2}$ D、﹣1＜t＜ $\frac{1}{2}$

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二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分.将答案直接填写在题中横线上）。

13. 在平面直角坐标系中，点P（3m﹣1，2﹣m）与点P′关于原点对称，且点P′在第三象限，则m的取值范围是．

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14. 国旗上的每一个五角星是旋转对称图形，它至少需要旋转°后才能与自身重合．

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15. 若m ， n是一元二次方程x²+2022x﹣2023＝0的两个实数根，则 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ ＝．

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16. 若函数y＝ax²﹣x+1（a为常数）的图象与x轴只有一个交点，那么那么a的值是．

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17. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．进馆人次的月平均增长率是．

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18. 如图，已知△ABC ， ∠ABC＜60°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE ， DE与BC交于点P ．下列结论：
①∠EPC＝60°；
②AC与DE互相平分；
③PA+PC＝PE；
④PA平分∠BPE ，其中正确结论的是．

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三、解答题：（本大题共6个小题，共46分.解答应写出文字说明、证明过程或推理步骤。)

19.

(1)、解方程：x²﹣2x﹣24＝0．

(2)、△ABC和点S在平面直角坐标系中的位置如图所示．
①将△ABC向右平移4个单位得到△A₁B₁C₁ ，画出平移后的图形；
②将△ABC绕点S按顺时针方向旋转90°，画出旋转后的图形．

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20.

(1)、已知二次函数y＝x²﹣2x﹣3，求：
①抛物线与x轴、y轴相交的交点坐标．
②抛物线的顶点坐标．
③画出此抛物线的图象，利用图象回答问题：当x取何值时，函数值大于0？

(2)、已知关于x的一元二次方程x²+3x+k﹣2＝0有实数根．
①求实数k的取值范围．
②设方程的两个实数根分别为x₁ ， x₂ ，若（x₁+1）（x₂+1）＝﹣1，求k的值．

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21. 一个凸多边形共有20条对角线，它是几边形？是否存在有18条对角线的多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明得出结论的道理．

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22. 如图，等腰Rt△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，点D在AC上，将△ABD绕点B沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE．

(1)、求∠DCE的度数；

(2)、若AB=4，CD=3AD，求DE的长．

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23. 一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量 $y$ （件 $)$ 与销售价 $x$ （元/件）之间的函数关系如图所示．

(1)、求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式，并写出自变量 $x$ 的取值范围；

(2)、求每天的销售利润W（元 $)$ 与销售价 $x$ （元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

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24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数 $y = - \frac{1}{2} x + 3$ 的图象与x轴交于点A ，与y轴交于点B ，点C的坐标为（﹣2，0），抛物线经过A ， B ， C三点．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、直线AD与y轴负半轴交于点D ，且∠BAO＝∠DAO ，求证：OB＝OD；

(3)、在问题2的条件下，若直线AD与抛物线的对称轴l交于点E ，连接BE ，在平面内是否存在一点P ，使以B ． E ． A ． P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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