湖南省怀化市2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2024-01-02 类型：期中考试

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一、选择题（每小题3分，共30分）

1. 已知点 $A (4 ， - 2)$ 在双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 上，则下列各点中，在此双曲线上的点是（）

A、 $(4 ， 2)$ B、 $(3 ， 3)$ C、 $(- 4 ， 2)$ D、 $(- 3 ， 3)$

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2. 下列方程中是一元二次方程的是（）

A、 $x^{2} - 1 = 0$ B、 $y^{2} + x = 1$ C、 $2 x + 1 = 0$ D、 $x + \frac{1}{x} = 1$

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3. 用配方法解方程 $x^{2} + 8 x + 7 = 0$ ，配方正确的是（）

A、 ${(x + 4)}^{2} = 9$ B、 ${(x - 4)}^{2} = 9$ C、 ${(x - 8)}^{2} = 16$ D、 ${(x + 8)}^{2} = 57$

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4. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D E ∥ B C$ ， $\frac{A D}{B D} = \frac{2}{3}$ ，若 $B C = 10$ ，则 $D E$ 等于（）

A、5 B、4 C、 $2.5$ D、2

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5. 若点 $A (x_{1} ， - 2) ， B (x_{2} ， 1) ， C (x_{3} ， 2)$ 都在反比例函数 $y = - \frac{2}{x}$ 的图象上，则 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $x_{3} < x_{2} < x_{1}$ B、 $x_{2} < x_{1} < x_{3}$ C、 $x_{1} < x_{3} < x_{2}$ D、 $x_{2} < x_{3} < x_{1}$

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6. 杭州亚运会吉祥物深受大家喜爱．某商户8月份销售吉祥物“宸宸”摆件10万个，10月份销售 $12.1$ 万个．设该摆件销售量的月平均增长率为x，则可列方程为（）

A、 $10 x^{2} = 12.1$ B、 $10 (1 + 2 x) = 12.1$ C、 $10 {(1 + x)}^{2} = 12.1$ D、 $12.1 {(1 - x)}^{2} = 10$

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 76 ° ， A B = 8 ， A C = 6$ ．将 $△ A B C$ 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 定义：一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ （ $a \neq 0$ ）若满足 $a - b + c = 0$ ，那么我们称这个方程为“和谐”方程，若满足 $a + b + c = 0$ ，那么我们称这个方程为“友善”方程.已知关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ （ $a \neq 0$ ）既是“和谐”方程，又是“友善”方程，则下列结论中正确的是（）

A、方程有两个相等的实数根 B、方程的两个根互为相反数 C、两根之积为0 D、无实数根

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9. 在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为（1，0），顶点A的坐标为（0，2），顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C的对应点C′的坐标为（）

A、（ $\frac{3}{2}$ ，0） B、（2，0） C、（ $\frac{5}{2}$ ，0） D、（3，0）

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10. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 10$ ， $B C = 6$ ．点 $F$ 是边 $B C$ 上一动点，过点 $F$ 作 $F D / / A B$ 交 $A C$ 于点 $D$ ， $E$ 为线段 $D F$ 的中点，当 $B E$ 平分 $∠ A B C$ 时， $A D$ 的长度为（）

A、 $\frac{30}{11}$ B、 $\frac{40}{11}$ C、 $\frac{48}{11}$ D、 $\frac{60}{11}$

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二、填空题（每小题3分，共24分）

11. 反比例函数 $y = \frac{k - 1}{x}$ 的图象分布在第一、三象限内，则 $k$ 的取值范围为．

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12. 若m是方程 $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ 的一个根，则代数式 $2 m^{2} - 4 m + 1 =$ ．

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13. 设 $\frac{a}{b} = \frac{2}{3}$ ，那么 $\frac{a + 2 b}{b} =$ ．

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14. 已知点P是线段 $A B$ 的黄金分割点， $A P > P B$ ，若 $A B = 4$ ，则 $A P$ 的值为

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15. 已知一菱形的两条对角线长分别是方程x²-9x+20=0的两根，则菱形的面积是．

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16. 《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆 $A B$ ，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线 $B D$ 与井口的直径 $A C$ 交于点E，如果测得 $A B = 1$ 米， $A C = 1.6$ 米， $A E = 0.4$ 米，那么 $C D$ 为米．

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17. 若关于x的一元二次方程 $(m + 1) x^{2} + 5 x + m^{2} + 3 m + 2 = 0$ 的常数项为0．则m的值等于．

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18. 如图，点 $B$ 是反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 上一点，矩形 $O A B C$ 的周长是 $16$ ，正方形 $B C G H$ 和正方形 $O C D F$ 的面积之和为 $56$ ，则反比例函数的解析式是．

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三、解答题（8小题，共66分）

19. 解下列方程：

(1)、 $3 x (x - 1) = 2 (x - 1)$

(2)、 $2 x^{2} - 4 x - 1 = 0$

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20. 如图，平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的顶点都在正方形网格的格点上．

(1)、以O点为位似中心，位似比的绝对值为2，将 $△ A B C$ 放大为 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，请在网格图中画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ （只画出其中一种）；

(2)、若 $△ A B C$ ， $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的面积分别为S、 $S_{1}$ ，写出S、 $S_{1}$ 的数量关系．

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21. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点M、N分别在 $A B 、 B G$ 上， $A B = 4$ ， $A M = 1$ ， $B N = \frac{3}{4}$ ．

(1)、求证： $△ A D M ∽ △ B M N$ ；

(2)、 $D M$ 与 $M N$ 有什么数量关系，请说明理由；

(3)、 $D M$ 与 $M N$ 有什么位置关系，请说明理由．

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22. 一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度.如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高 $A M$ 与影子长 $A E$ 正好相等；接着李明沿 $A C$ 方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高 $B N$ 的影子恰好是线段 $A B$ ，并测得 $A B = 1.25 m$ ，已知李明直立时的身高为 $1.75 m$ ，求路灯的高 $C D$ 的长.（结果精确到 $0.1 m)$ .

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23. 已知关于x的方程 $x^{2} - 2 (m + 1) x + m^{2} + 3 = 0$ ．

(1)、当m满足什么条件时，方程有实数根？

(2)、设方程的两实根分别为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，且 $x_{1}^{2} - x_{2}^{2} = 22$ ，求m的值．

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24. 直福购物逐渐走进了人们的生活，某电商在料者上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售、如果按每件60元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现，每件小商品的售价每降低1元，则日销售量可增加2件．

(1)、当每件小商品的售价为50元时，日销售量为件；

(2)、若计划每日获利448元，为了尽快减少库存，每件售价应定为多少元？

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25. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，点E在 $A B$ 上， $A E = \frac{1}{3} A B$ ， $E D$ 和 $A C$ 相交于点F，过点F作 $F G ∥ A B$ ，交 $A D$ 于点G．

(1)、求 $\frac{A F}{F C}$ 的值．

(2)、若 $A B ： A C = \sqrt{3} ： 2$ ，
①求证： $∠ A E F = ∠ A C B$ ．
②求证： $D F^{2} = D G \cdot D A$ ．

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26. 如图，一次函数 $y = x + 4$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （k为常数且 $k \neq 0$ ）的图象交于A，B两点，其中 $A (- 1 ， 3)$ ，直线 $y = x + 4$ 与y轴、x轴分别交于C，D两点．

(1)、求反比例函数的表达式；

(2)、在x轴上找一点P，使 $P A + P B$ 的值最小，并求满足条件的点P的坐标；

(3)、在坐标平面中是否存在点Q，使得以Q，A，B为顶点的三角形与 $△ C O D$ 相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．

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