江西省吉安市十校联盟2023-2024学年八年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2024-01-02 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

1. 在实数 $- 2$ ， $\sqrt[3]{8}$ ， $\sqrt{6}$ ， 3.14中，无理数是（）

A、 $- 2$ B、 $\sqrt[3]{8}$ C、 $\sqrt{6}$ D、3.14

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2. 下列各组数分別为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（）

A、1，2，3 B、4，5，6 C、7，24，25 D、8，15，18

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3. 如图，是象棋盘的一部分，若“帅”位于点 $(1 ， - 2)$ ， “相”位于点 $(3 ， - 2)$ 上，则“炮”位于点（）上．

A、 $(0 ， 2)$ B、 $(0 ， 3)$ C、 $(- 2 ， 3)$ D、 $(- 2 ， 1)$

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4. 如图，数轴上，点 $A$ 为线段BC的中点， $A$ ， $B$ 两点对应的实数分别是 $\sqrt{3}$ 和 $- 1$ ，则点 $C$ 所对应的实数是（）

A、 $1 + \sqrt{3}$ B、 $\frac{3}{2} \sqrt{3} + \frac{1}{2}$ C、 $2 \sqrt{3 - 1}$ D、 $2 \sqrt{3} + 1$

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5. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，一次函数 $y = k x + b$ 的图象的 $y$ 随 $x$ 的增大而减小，且 $k b > 0$ ，则它的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 如图，动点 $P$ 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点 $(- 1 ， 1)$ ，第2次接着运动到点 $(- 2 ， 0)$ ，第3次接着运动到点 $(- 3.2)$ ， ……，按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点 $P$ 的坐标是（）．

A、 $(- 2025 ， 0)$ B、 $(- 2025 ， 1)$ C、 $(- 2025 ， 2)$ D、 $(- 2026 ， 1)$

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二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

7. 点 $P (4 ， - 1)$ 关于 $y$ 轴的对称点坐标为．

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8. 函数 $y = \frac{\sqrt{1 - 2 x}}{x}$ 中自变量 $x$ 的取值范围是．

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9. 程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，根据如图的程序进行计算，当输入们 $x$ 值为64时，输出的 $y$ 值是．

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10. 若直线 $y = 2 x + 3$ 下移后经过点（5，1），则平移后的直线解析式为．

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11. 如图，将两个大小、形状完全相同的 $△ A B C$ 和 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 拼在一起，其中点 $A^{'}$ 与点 $A$ 重合，点 $C^{'}$ 落在边AB上，连接 $B^{'} C$ ．若 $∠ A C B = ∠ A C^{'} B^{'} = 90 °$ ， $A C = B C = 3$ ，则 $B^{'} C$ 的长度为．

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12. 在平面直角坐标系中，长方形 $A B C D$ 按如图所示放疽， $O$ 是AD的中点，且 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的坐标分别为 $(5 ， 0)$ ， $(5 ， 4)$ ， $(- 5 ， 4)$ ，点 $P$ 是BC上的动点，当 $△ O D P$ 是腰长为5的等腰三角形时，则点 $P$ 的坐标为．

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三、解答题（本大题共5小题，每小题各6分，共30分）

13. 计算：

(1)、 $(π - 3)^{0} + \sqrt{(- 4)^{2}} - (- 1)^{2023}$ ．

(2)、 $\frac{\sqrt{24} - \sqrt{6}}{\sqrt{3}} - (\sqrt{3} - \sqrt{2}) (\sqrt{3} + \sqrt{2})$ ．

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14. 已知正数 $a$ 的两个不同的平方根分别是 $2 x - 2$ 和 $6 - 3 x$ ，求 $a$ 的立方根．

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15. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫做格点．

图1 图2

(1)、在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形：

(2)、在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三解形三边长分别为2， $\sqrt{5}$ ， $\sqrt{13}$ ．

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16. 在第十四届全国人大一次会议召开之际，某中学举行了庄严的升旗仪式．看着着再升起的五星红旗（如图1），小乐想用刚学过的知识计算旗杆的高度．如图2，AD为旗杆AE上用来固定国旗的绳子，点D距地面的高度 $D E = 1 m$ ．将绳子AD拉至AB的位置，测得点 $B$ 到AE的距离 $B C = 3 m$ ，到地面的垂直高度 $B F = 2 m$ ，求旗杆AE的高度．
图1 图2

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17. 某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过5吨，每吨收费2元；超过5吨时，超过的部分每吨收费3.5元，设某户每月用水量为 $x$ 吨，应收水费为 $y$ 元．

(1)、写出每月用水量超过5吨时， $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式：

(2)、若某户居民某月交水费17元，该户居民用水多少吨？

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四、（本大题共3小题，每小题各8分，共24分）

18. 已知，如图，Rt $△ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A B = 6$ ， $B C = 4$ ，以斜边AC为底边作等腰三角形ACD，腰AD刚好满足 $A D / / B C$ ，并作腰上的高AE．

(1)、求证：AB=AE；

(2)、求等腰三角形的腰长CD．

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19. 如图，在平面直角坐标系中，已知 $△ A B C$ 的三个顶点的坐标分别为 $A (- 3 ， 5)$ ， $B (- 2 ， 1)$ ， $C (- 1 ， 3)$ ．

(1)、若 $△ A B C$ 和 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 关于 $x$ 轴成轴对称，画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，点 $C_{1}$ 的坐标为 ▲ ；

(2)、在 $y$ 轴上求作一点 $P$ ，使得 $P A + P B$ 的值最小，请在图中画出 $P$ 点：

(3)、求 $△ A B C$ 的面积和最长边上的高．

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20. 如图，在平面直角坐标系， $A (a ， 0)$ ， $B (b ， 0)$ ， $C (- 1 ， 2)$ ，且 $\sqrt{2 a + 4}$ 与 $| a + 2 b - 4 |$ 互为相反数．

(1)、求实数 $a$ 与 $b$ 的值；

(2)、在 $x$ 轴的正半轴上存在一点 $M$ ，使 $S_{△ C O M} = \frac{1}{2} S_{△ A B C}$ ，请通过计算求出点 $M$ 的坐标；

(3)、在坐标轴的其他位詛是否存在点 $M$ ，使 $S_{△ C O M} = \frac{1}{2} S_{△ A B C}$ 仍然成立？若存在，请直接写出符合题意的点 $M$ 的坐标．

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五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

21. 先观察下列的计算，再完成：
$\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$
$\frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{4} - \sqrt{3}}{(\sqrt{4} + \sqrt{3}) (\sqrt{4} - \sqrt{3})} = \sqrt{4} - \sqrt{3}$

(1)、计算： $\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{4}}$ ；

(2)、观察上面的解题过程，请直接写出 $\frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n - 1}} (n \geq 2)$ 的结果为；

(3)、根据你的猜想、归纳，运用规律计算：
求 $(\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{\sqrt{2023} + \sqrt{2022}}) (\sqrt{2023} + 1)$ 的值

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22. 在一条直线上依次有 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三个港口，甲、乙两船同时分别从 $A$ 、 $B$ 港口出发，沿直线匀速驶向C港，最终到达C港停止．设甲、乙两船行驶 $x (h)$ 后，与 $B$ 港的距离分别为 $y_{1}$ 、 $y_{2} (k m)$ ， $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 与 $x$ 的关系则图所示．

(1)、B、C两港口间的距离为 $k m$ ， $a =$ ；

(2)、甲船出发几小时追上乙船？

(3)、在整个过程中，什么时候甲乙两船相距 $10 k m$ ？

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六、解答题（本大题共1小题，共12分）

23. 【探索发现】如图1，等腰直角三角形ABC中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C B = C A$ ，直线DE经过点 $C$ ，过 $A$ 作 $A D ⊥ D E$ 于点 $D$ ．过 $B$ 作 $B E ⊥ D E$ 于点 $E$ ，则 $△ B E C ≌ △ C D A$ ，我们称这种全等模型为“ $k$ 型全等”．（不需要证明）
【迁移应用】已知：直线 $y = k x + 6 (k \neq 0)$ 的图象与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于A、B两点．
图1 图2图3 图4

(1)、如图2，当 $k = - \frac{3}{4}$ 时，在第一象限构造等腰直角 $△ A B E$ ， $∠ A B E = 90 °$ ；直接写出 $O A =$ ， $O B =$ ；

(2)、如图3，当 $k$ 的取值变化，点 $A$ 随之在 $x$ 轴负半轴上运动时，在 $y$ 轴左侧过点B作 $B N ⊥ A B$ ，并且 $B N = A B$ ，连接ON，问 $△ O B N$ 的面积是否发生变化？若不变，求出其值；若变，请说明理由；

(3)、【拓展应用】如图4，当 $k = - \frac{3}{2}$ 时，直线 $l ： y = - 4$ 与 $y$ 轴交于点 $D$ ，点 $P (n ， - 4)$ 、 $Q$ 分别是直线和直线AB上的动点，点 $C$ 在 $x$ 轴上们坐标为 $(10 ， 0)$ ，当 $△ P Q C$ 是以CQ为斜边的等腰直角三角形时，点 $Q$ 的坐标是．

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