江西省赣州市章贡区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2024-01-02 类型：期中考试

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一、单项选择题（本大题6小题，每小题3分，共18分）

1. 用配方法解一元二次方程 $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ ，配方后得到的方程是（）

A、 ${(x + 6)}^{2} = 28$ B、 ${(x - 6)}^{2} = 28$ C、 ${(x + 3)}^{2} = 1$ D、 ${(x - 3)}^{2} = 1$

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2. 我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有深远影响.下列图形“杨辉三角”，“赵爽弦图”，“中国七巧板”，“刘微割圆术”中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 若 $x = 1$ 是一元二次方程 $x^{2} + x + m = 0$ 的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（）

A、0， $- 2$ B、0，0 C、 $- 2$ ， $- 2$ D、2，2

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4. 在正方形网格中有 $△ A B C$ ， $△ A B C$ 绕O点按逆时针旋转90°后的图案应该是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图， $△ A B C$ 是 $⊙ O$ 的内接三角形，且AB是 $⊙ O$ 的直径，点P为 $⊙ O$ 上的动点，且 $∠ B P C = 60 °$ ， $⊙ O$ 的半径为6，则点P到AC距离的最大值是（）

A、6 B、12 C、 $6 + 3 \sqrt{3}$ D、 $6 \sqrt{3}$

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6. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （a ， b ， c为常数，且 $a \neq 0$ ）中的x与y的部分对应值如下表：
x
$- 1$
0
1
3
y
$- 1$
3
5
3
下列结论：① $a c < 0$ ；②当 $x > 1$ 时，y的值随x值的增大而减小；③3是方程 $a x^{2} + (b - 1) x + c = 0$ 的一个根；④当 $- 1 < x < 3$ 时， $a x^{2} + (b - 1) x + c > 0$ .其中正确结论的个数是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）

7. 关于x的一元二次方程 $x^{2} - 4 x + k = 0$ 有实数根，则k的取值范围是.

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8. 抛物线 $y = x^{2} + 2 x + c$ 与x轴只有一个公共点，则c的值为.

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9. 如图，在 $⊙ O$ 中，弦AB ， CD相交于点P.若 $∠ A = 48 °$ ， $∠ A P D = 80 °$ ，则 $∠ B$ 的度数是.

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10. 已知 $m$ 、 $n$ 是一元二次方程 $x^{2} + 2 x - 5 = 0$ 的两个根，则 $m^{2} + m n + 2 m$ 的值为.

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11. 如图，平面直角坐标系中有两个二次函数的图象，其顶点P ， Q皆在x轴上，且有一水平线与两图象相交于A、B、C、D四点，各点位置如图所示，若 $A B = 10$ ， $B C = 5$ ， $C D = 6$ ，则PQ的长度为.

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12. 已知抛物线 $y = - 0.25 x^{2} - x$ ， M是抛物线上一动点，以点M为圆心，1个单位长度为半径作 $⊙ M$ .当 $⊙ M$ 与x轴相切时，点M的坐标为.

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三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

13.

(1)、解方程： $x^{2} - 2 x = 0$

(2)、如图，在 $⊙ O$ 中，AB ， AC为互相垂直且相等的两条弦， $O D ⊥ A B$ ， $O E ⊥ A C$ ，垂足分别为D ， E.
求证：四边形ADOE为正方形，

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14. 如图， $△ A B C$ 和 $△ E C D$ 都是等边三角形，且B、C、D三点共线.

(1)、 $△ B C E$ 可以看作是由△绕着点，逆时针旋转°得到；

(2)、试证明这两个三角形全等.

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15. 某广场要建一个圆形喷水池，计划在池中心位置O竖直安装一根顶部A带有喷水头的水管，如图，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心的水平距离也为3m，那么水管OA的高度应为多少？

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16. 如图，点A ， B在 $⊙ O$ 上，点O是 $⊙ O$ 的圆心，请你仅用无刻度的直尺，在图1和图2中分别画出以点B为顶点，与 $∠ A$ 互余的圆周角（保留作图痕迹）

图1 图2

(1)、图1中，点C在 $⊙ O$ 上；

(2)、图2中，点C在 $⊙ O$ 内.

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17. 随着我国经济的强劲复苏，外出旅游的人越来越多.某景区游容人数逐月增加、2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人.

(1)、求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；

(2)、预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率.已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？

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四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

18. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - (2 m - 1) x - 3 m^{2} + m = 0$

(1)、求证：无论m为何值，方程总有实数根；

(2)、若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程的两个实数根，且 $\frac{x_{2}}{x_{1}} + \frac{x_{1}}{x_{2}} = - \frac{5}{2}$ ，求m的值．

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19. 如图1，已知 $△ A B C$ 是 $⊙ O$ 的内接三角形，AB为直径， $∠ A = 38 °$ ， D为 $\overset{⌢}{A B}$ 上一点.
图1 图2

(1)、当点D为 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点时，连接DB ， DC ，求 $∠ A B C$ 和 $∠ A B D$ 的大小；

(2)、如图2，过点D作 $⊙ O$ 的切线，与AB的延长线交于点P ，且 $D P ∥ A C$ ，连接DC ， OC ，求 $∠ O C D$ 的大小.

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20. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 $F_{1} ： y = x^{2} + b x + c$ 经过点 $A (- 3 ， 0)$ 和点 $B (1 ， 0)$ .
图1 图2 图3

(1)、求抛物线 $F_{1}$ 的表达式；

(2)、如图2，抛物线 $F_{2}$ 与抛物线 $F_{1}$ 关于原点O成中心对称，请直接写出抛物线 $F_{2}$ 的表达式为；

(3)、如图3，将（2）中抛物线 $F_{2}$ 向上平移m个单位，得到抛物线 $F_{3}$ ，当抛物线 $F_{3}$ 经过点A时，求m的值.

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五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

21. 为加强劳动教育，落实五育并举.某中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地.2023年计划将其中 $1000 m^{2}$ 的土地全部种植甲乙两种蔬菜.经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位：元 $/ m^{2}$ ）与其种植面积x（单位： $m^{2}$ ）的函数关系如图所示，其中 $200 \leq x \leq 700$ ；乙种蔬菜的种植成本为50元 $/ m^{2}$ .

(1)、当 $x =$ $m^{2}$ 时， $y = 35$ 元 $/ m^{2}$ ；

(2)、设2023年甲乙两种蔬菜种植总成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？

(3)、学校计划今后每年在这 $1000 m^{2}$ 土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降.若甲种蔬菜种植成本平均每年下降10%，乙种蔬菜种植成本平均每年下降 $a %$ ，当a为何值时，2025年的种植总成本为28920元？

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22. 如图1，已知AB是 $⊙ O$ 的直径，且 $A B = 20$ ， BM切 $⊙ O$ 于点B ，点P是 $⊙ O$ 上的一个动点（不经过A ， B两点），连接PA ，过点O作 $O Q ∥ A P$ 交BM于点Q ，过点P作 $P E ⊥ A B$ 于点C ，交QO的延长线于点E ，连接AE ， PQ.
图1 （备用图）

(1)、求证： $P E ∥ B M$ ；

(2)、试判断PQ与 $⊙ O$ 的位置关系，并给予证明；

(3)、随着点P的移动，四边形PAEO能否为菱形，若能，请说明点E与 $⊙ O$ 的位置关系，并求出PE的长；若不能，请说明理由.

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六、解答题（本大题共12分）

23. 已知二次函数 $L ： y = m x^{2} + 2 m x - 3 (m \neq 0)$

(1)、以下有关二次函数L的性质结论序号正确的有.（填序号）
①二次函数的开口向上；
②二次函数的对称轴是直线 $x = - 1$ ；
③二次函数的图象经过定点 $(0 ， - 3)$ 和 $(- 2 ， - 3)$ ；
④函数值y随着x的增大而减小.

(2)、若二次函数 $L ： y = m x^{2} + 2 m x - 3$ 的图象关于点 $(m ， 0)$ 中心对称得到二次函数G的图象，则称这两个二次函数关于点 $(m ， 0)$ 成对称抛物线.
①求抛物线G的表达式（用含m的式子表示）：
②若抛物线G的顶点纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系式H ，求出这个函数关系式；若二次函数L与函数H的图象有交点，请结合图象求出m的取值范围.

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