云南省昆明市五华区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2024-01-02 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共12小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，共36分）

1. 2023年杭州亚运会的参赛人数创下了亚运历史之最，参赛运动员超过 $12000$ 名．数据 $12000$ 用科学记数法表示为（）

A、 $1.2 × 1 0^{3}$ B、 $1.2 \times 1 0^{4}$ C、 $0.12 \times 1 0^{5}$ D、 $0.12 \times 1 0^{4}$

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2. 如图， $A B$ $∥$ $C D$ ， $E F ⊥ C D$ 于点 $F$ ，若 $∠ 2 = 46 °$ ，则 $∠ 1$ 等于（）

A、 $26 °$ B、 $36 °$ C、 $44 °$ D、 $54 °$

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $m^{3} + m^{4} = m^{7}$ B、 $m^{3} \cdot m^{4} = m^{12}$ C、 $m^{6} \div m^{3} = m^{2}$ D、 $(m^{3})^{4} = m^{12}$

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4. 如图， $A B = A D$ ， $A C$ 平分 $∠ B A D$ ．证明 $△ A B C ≌ △ A D C$ 的依据是（）

A、 $A A S$ B、 $S S S$ C、 $A S A$ D、 $S A S$

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5. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 按一定规律排列的式子： $a^{2}$ ， $- \frac{a^{5}}{3}$ ， $\frac{a^{10}}{5}$ ， $- \frac{a^{17}}{7}$ ， ⋯，第n个式子是（）

A、 ${(- 1)}^{n} \frac{a^{3 n - 1}}{2 n + 1}$ B、 ${(- 1)}^{n + 1} \frac{a^{3 n - 1}}{2 n + 1}$ C、 ${(- 1)}^{n + 1} \frac{a^{n^{2} + 1}}{2 n - 1} $ D、 ${(- 1)}^{n} \frac{a^{n^{2} + 1}}{2 n - 1}$

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7. 若关于x的一元二次方程 $x^{2} - x - 2 + k = 0$ 有实数根，则k的值可以是（）

A、2 B、 $\frac{5}{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、3

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8. 某中学对学生最喜欢的课外体育项目进行了随机抽样调查，要求每人只能选择其中的一项，根据得到的数据，绘制的不完整统计图如图所示，则下列说法中不正确的是（）

A、这次调查的样本容量是 $200$ B、全校 $1600$ 名学生中，估计最喜欢排球的大约有 $240$ 人 C、扇形统计图中，跳绳所对应的圆心角是 $45 °$ D、被调查的学生中，最喜欢羽毛球的有 $60$ 人

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9. 青年志愿团队到某地开展志愿服务活动，他们从距离活动地点 $11 k m$ 的地方出发．一部分人骑自行车先走，过了 $30 m i n$ 后，其余的人乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车速度是骑车志愿者速度的 $2$ 倍，设骑车志愿者的速度为 $x$ $k m / h$ ．根据题意，下列方程正确的是（）

A、 $\frac{11}{x} + \frac{1}{2} = \frac{11}{2 x}$ B、 $\frac{11}{x} - \frac{11}{2 x} = \frac{1}{2}$ C、 $\frac{11}{x} + 30 = \frac{11}{2 x}$ D、 $\frac{11}{x} - 30 = \frac{11}{2 x}$

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10. 如图，四边形 $A B C D$ 是 $⊙ O$ 的内接四边形，若 $∠ B = 58 °$ ， $∠ A C D = 40 °$ ，则 $\overset{⌢}{D C}$ 所对圆心角为（）

A、 $18 °$ B、 $24 °$ C、 $30 °$ D、 $36 °$

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11. 对于某个一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ ，下列根据对话得出的结论中错误的是（）
函数图象不经过第二象限．
函数图象经过点 $(2 ， 0)$ ．

A、 $k + b > 0$ B、 $k b < 0$ C、 $k > 0$ D、 $k = - \frac{1}{2} b$

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12. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 3 c m$ ，点 $M$ 从点 $A$ 开始沿边 $A B$ 向点 $B$ 以 $1 c m / s$ 的速度移动，同时点 $N$ 从点 $D$ 开始沿边 $D C$ ， $C B$ 按 $D \to C \to B$ 的路线以 $2 c m / s$ 的速度移动．设 $△ A M N$ 的面积为 $y ($ 单位： $c m^{2})$ ，运动时间为 $x ($ 单位： $s)$ ，则 $y$ 关于 $x$ 的函数图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）

13. 若代数式 $\sqrt{x - 1}$ 有意义，则实数x 的取值范围是.

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14. 如果一个正多边形的一个外角是60°，那么这个正多边形的边数是.

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15. 化简： $\frac{m^{2}}{m - 1} - \frac{1}{m - 1} =$ ．

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16. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 $A B C D$ 的顶点A，B在x轴上，点A的坐标是 $(1 ， 0)$ ， $A B = 2$ ， $∠ D A B = 60 °$ ，若将菱形 $A B C D$ 绕点A顺时针旋转 $90 °$ 得到菱形 $A B_{1} C_{1} D_{1}$ ，则点 $C_{1}$ 的坐标是．

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三、解答题（本大题共8小题，共56分）

17. 计算： $(π - 2023)^{0} + \sqrt{{(- 2)}^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{- 2} - \frac{\sqrt[3]{8}}{2} + | - 1 |$ ．

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18. 玉璧、玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扁圆型器物，据《尔雅•释器》记载：“肉倍好，谓之壁；肉好若一，谓之环．”如图1，“肉”指边（阴影部分），“好”指孔，其比例关系见图示．以考古发现来看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系．


(1)、若图1中两个大圆的直径相等，求璧与环的“肉”的面积之比；

(2)、图2为某玉环及其从正面看得到的平面图形．现利用圆规与无刻度的直尺判断该玉环的比例关系是否符合“肉好若一”．
作法：如图3．
①在大圆上任取两点 $A$ ， $B$ ，连接 $A B$ ；
②延长 $B A$ ，用圆规与无刻度的直尺，过点 $A$ 作射线 $B A$ 的垂线交大圆于点 $C$ ；
③连接 $B C$ ，交小圆于 $E$ ， $F$ 两点，分别以点 $E$ 和点 $F$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2}$ $E F$ 的长为半径作弧，两弧交于 $G$ ， $H$ 两点，作直线 $G H$ ，交 $B C$ 于点 $O$ ，以点 $O$ 为圆心， $E F$ 的长为半径作圆（虚线）．
请你完成下面的证明．
证明：由作法②得 $C A ⊥ B A$ ，
$∴ ∠ B A C = 90 °$ ．
$∴$ 弦 $B C$ 是大圆的直径（     ）（填推理依据）．
由作法③得 $G H$ 为 $B C$ 的    ▲         ．
$∵$ 作法③得到的圆（虚线）与大圆不重合，
$∴$ 所以该玉环的比例关系    ▲        “肉好若一”（填：“符合”或“不符合”）．

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19. 某新能源汽车区域销售部希望确定一个适当的季度目标，对完成目标的员工进行奖励，以调动员工的积极性．现对 $20$ 名员工某季度的销售额进行统计和分析．
数据收集（单位：万元）： $50$ ， $99$ ， $60$ ， $52$ ， $82$ ， $62$ ， $76$ ， $94$ ， $82$ ， $78$ ， $51$ ， $75$ ， $61$ ， $63$ ， $67$ ， $79$ ， $82$ ， $85$ ， $92$ ， $98$ ．
数据整理：
销售额/万元
$50 \leq x < 60$
$60 \leq x < 70$
$70 \leq x < 80$
$80 \leq x < 90$
$90 \leq x < 100$
频数
$3$
$5$
$m$
$4$
$4$
数据分析：
平均数
众数
中位数
$74.4$
$82$
$n$
问题解决：

(1)、填空： $m =$ ， $n =$ ；

(2)、若将季度销售额不低于 $70$ 万元确定为销售目标，则有名员工获得奖励；

(3)、销售部对数据分析后，最终对一半的员工进行了奖励．某员工反映：“我这个季度的销售额是 $75$ 万元，比平均数 $74.4$ 万元高，所以我的销售额超过了一半的员工，为什么我没拿到奖励？”假如你是负责人，请你给出合理的回复．

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20. 国庆节期间，明明、亮亮两家人一起去旅行．他们入住了某酒店相邻的两间客房，客房分别记为 $a$ ， $b$ ．每间客房配有两张房卡，其中客房 $a$ 的房卡分别记为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，客房 $b$ 的房卡分别记为 $B_{1}$ ， $B_{2}$ ，这 $4$ 张房卡外观完全相同．

(1)、明明从4张房卡中随机取出一张，只试一次就能打开一间客房的概率为；

(2)、爸爸外出购物时告诉亮亮他带走了房卡 $B_{2}$ ，亮亮从剩下的 $3$ 张房卡中随机取出一张，请用列表法或画树状图法中的一种方法，求他只试一次就能打开一间客房的概率．

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21. 用 $600$ 张甲种木板（规格： $20 c m \times 20 c m$ ）和 $400$ 张乙种木板（规格： $20 c m \times 10 c m$ ）制作 $A$ ， $B$ 两种顶部无盖的木盒若干个， $A$ ， $B$ 两种木盒尺寸（单位： $c m$ ）如图．为了降低成本，制作木盒时，甲种木板不裁开，除棱以外其他地方不拼接，且甲、乙两种木板刚好全部用完．

(1)、求可制作 $A$ ， $B$ 两种木盒各多少个？

(2)、已知 $A$ 种木盒的销售单价是 $B$ 种木盒的两倍，且两种木盒的销售单价之和不低于 $21$ 元而不超过 $54$ 元，设 $B$ 种木盒的销售单价为 $t$ 元．当制作这批木盒的成本为 $2100$ 元时，为使这批木盒的销售利润最大，两种木盒的销售单价应分别定为多少元？销售这批木盒的最大利润为多少元？

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22. 如图，在▱ $A B C D$ 中， $B E$ 平分 $∠ A B C$ ， $C E$ 平分 $∠ B C D$ ， $B F$ $∥$ $C E$ ， $C F$ $∥$ $B E$ ．

(1)、求证：四边形 $B F C E$ 是矩形；

(2)、若点 $E$ 恰好在 $A D$ 上，且 $∠ B A D = 120 °$ ，设 $△ A B E$ 的周长为 $C_{1}$ ， $△ D C E$ 的周长为 $C_{2}$ ， $C_{1} = k C_{2}$ ，求常数 $k$ 的值．

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23. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径， $C$ 为 $⊙ O$ 上一点， $D$ 为 $A B$ 上一点， $B D = B C$ ，过点 $A$ 作 $A E ⊥ A B$ 交 $C D$ 的延长线于点 $E$ ， $C E$ 交 $⊙ O$ 于点 $G$ ，连接 $A C$ ， $A G$ ，在 $E A$ 的延长线上取点 $F$ ，使 $∠ F C A = 2 ∠ E$ ．

(1)、求证： $C F$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为 $5$ ， $A C = 6$ ，求 $A G$ 的长．

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24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y = a x^{2} - 2 a^{2} x - 3 (a \neq 0)$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，当 $- 2 < x < 3$ 时，求 $y$ 的取值范围；

(2)、已知点 $A (2 a - 1 ， y_{1})$ ， $B (a ， y_{2})$ ， $C (a + 2 ， y_{3})$ 都在该抛物线上，若 $(y_{1} - y_{3}) (y_{3} - y_{2}) > 0$ ，求 $a$ 的取值范围．

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	函数图象不经过第二象限．
	函数图象经过点 $(2 ， 0)$ ．

销售额/万元	$50 \leq x < 60$	$60 \leq x < 70$	$70 \leq x < 80$	$80 \leq x < 90$	$90 \leq x < 100$
频数	$3$	$5$	$m$	$4$	$4$

平均数	众数	中位数
$74.4$	$82$	$n$