湖南省永州市宁远县2023-2024学年九年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2024-01-02 类型：期中考试

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一、选择题

1. 若反比例函数 $y = \frac{- 6}{x}$ 的图象一定经过的点是（）

A、 $(- 1 ， - 6)$ B、 $(1 ， - 6)$ C、 $(- 6 ， - 1)$ D、 $(1 ， 6)$

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2. 下列属于一元二次方程的是（）

A、 $x^{2} + 5 x = 0$ B、 $x^{2} + 2 x = \frac{1}{y}$ C、 $x^{2} - 3 x + y = 0$ D、 $x (x^{2} - 4 x) = 3$

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3. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ 成比例线段，其中 $a = 3 c m$ ， $b = 4 c m$ ， $c = 6 c m$ ，则 $d =$ （）

A、8cm B、9.5cm C、4cm D、4.5cm

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4. 下列说法正确的有个（    ）
$（ 1 ）$ 任意两个矩形都相似   $（ 2 ）$ 任意两个正方形都相似
$（ 3 ）$ 任意两个等边三角形都相似   $（ 4 ）$ 任意两个菱形都相似．

A、0 B、1 C、2 D、3

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5. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（）

A、 $x^{2} - 2 = 0$ B、 $2 x^{2} + 1 = 0$ C、 $x^{2} + 2 x + 1 = 0$ . D、 $2 x^{2} + x - 1 = 0$

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6. 如图，在平面直角坐标系中， $R t △ A B C$ 的顶点C ， A分别在x轴，y轴上， $O A = 2$ ， $O C = 1$ ，且斜边 $A B ∥ x$ 轴．若反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象恰好经过 $A B$ 的中点D ，则k的值为（）

A、 $- 10$ B、 $- 8$ C、 $- 5$ D、 $- 4$

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7. 某班毕业时，每位同学将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1892张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程（）

A、 $x (x + 1) = 1892$ B、 $x (x - 1) = 1892$ C、 $\frac{1}{2} x (x + 1) = 1892$ D、 $\frac{1}{2} x (x - 1) = 1892$

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8. 在同一直角坐标系中，函数 $y = - k (x - 1)$ 与 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 如图，小明设计的用激光笔测量城墙高度的示意图，在点 $P$ 处水平放置一面平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到城墙 $C D$ 的顶端 $C$ 处，已知 $A B ⊥ B D$ ， $C D ⊥ B D$ ， $A B = 1.2$ 米， $B P = 1.8$ 米， $P D = 12$ 米，那么该城墙 $C D$ 的高度为（）

A、6 B、8 C、10 D、18

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10. 用配方法解方程 $x^{2} - 4 x = 6$ 时，配方后正确的是（）

A、 $(x + 2)^{2} = 2$ B、 $(x + 2)^{2} = 6$ C、 $(x - 2)^{2} = 2$ D、 $(x - 2)^{2} = 10$

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11. 如图， $△ A B C$ 的 $B C$ 边上有两点 $D$ 、 $E$ ，且 $△ A D E$ 是正三角形，则下列条件不一定能使 $△ A B D$ 与 $△ A E C$ 相似的是（）

A、 $∠ B A C = 120 °$ B、 $A C^{2} = E C \cdot E B$ C、 $D E^{2} = B D \cdot E C$ D、 $∠ E A C + ∠ B = 60 °$

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12. 实数 $x$ 满足方程 $(x^{2} + x)^{2} + (x^{2} + x) - 2 = 0$ ，则 $x^{2} + x$ 的值等于（）

A、 $- 2$ B、 $1$ C、 $- 2$ 或 $1$ D、 $2$ 或 $- 1$

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二、填空题

13. 两个相似三角形对应高的比为 $2 ： 3$ ，那么这两个三角形的周长比为．

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14. 方程 $x^{2} = x$ 的解是．

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15. 一个游泳池的容积为 $2000 m^{3}$ ，游泳池注满水所用时间 $t$ 与注水速度 $v$ （填“成正比例”、“成反比例”、“不成比例”）．

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16. 若 $\frac{b}{a} = \frac{d}{c} = \frac{1}{2} (a \neq c)$ ，则 $\frac{b - d}{a - c} =$ ．

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17. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干长出同样数量的小分支．若主干，支干和小分支的总数是73，设每个支干长出x个小分支，则可列方程为．

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18. 如下图，跷跷板支架 $E F$ 的高为0.3米， $E$ 是 $A B$ 的中点，那么跷跷板能骁起的最大高度 $B C$ 等于米．

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19. 若关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 x + 1 - k = 0$ 有两个相等的实数根，则 $k$ 的值为．

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20. 如图，在正方形网格上，若使 $△ A B C ∽ △ P B D$ ，则点P应在．

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三、解答题

21. 解下列一元二次方程．

(1)、 $x^{2} - 3 x = 0$

(2)、 $x^{2} - 6 x + 7 = 0$

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22. 如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为 $4.5 m$ 的竹竿 $A C$ 斜靠在石坝旁，量出竿上 $A D$ 长为 $1 m$ 时，它离地面的高度 $D E$ 为 $0.6 m$ ，则坝高 $C F$ 为多少 $m$ ．

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23. 水果店店主张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干，以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低 $0.1$ 元，每天可多售出20斤．为保证每天至少售出200斤，张阿姨决定降价销售．设这种水果每斤的售价降低 $x$ 元．

(1)、每天的销售量为斤（用含 $x$ 的代数式表示）；

(2)、为尽量减少天气炎热带来的损耗，最大化减少库存，如果销售这种水果每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？

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24. 如图，一次函数 $y = k x + b$ 与反比例函数 $y = \frac{m}{x} (m \neq 0)$ 图像交于点 $A (- 3 ， 1)$ ， $B (n ， - 3)$ ．

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、结合图像直接写出关于 $x$ 的不等式 $\frac{m}{x} > k x + b$ 的解集．

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25. 已知关于x的一元二次方程(a＋c)x²＋2bx＋(a－c)＝0，其中a ， b ， c分别为△ABC三边的长．

(1)、如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

(2)、如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．

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26. 如图，一次函数 $y = a x + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象交于第一象限 $C ， D$ 两点，坐标轴交于 $A 、 B$ 两点，连接 $O C ， O D$ （ $O$ 是坐标原点）．

(1)、利用图中条件，求反比例函数的解析式和 $m$ 的值；

(2)、求 $△ D O C$ 的面积．

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27. 有一块三角形余料 $A B C$ ，它的边 $B C = 120 m m$ ，高 $A D = 80 m m$ ．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 $B C$ 上，其余两个顶点分别在 $A B ， A C$ 上．

(1)、问加工成的正方形零件的边长是多少 $m m$ ？

(2)、如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少 $m m$ ？请计算．

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