2013年高考理数真题试卷（山东卷）

试卷更新日期：2016-09-28 类型：高考真卷

进入出卷网下载

一、选择题

1. 复数z满足（z﹣3）（2﹣i）=5（i为虚数单位），则z的共轭复数 $\bar{z}$ 为（）

A、2+i B、2﹣i C、5+i D、5﹣i

查看试题解析
2. 已知集合A={0，1，2}，则集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是（）

A、1 B、3 C、5 D、9

查看试题解析
3. 已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时， $f (x) = x^{2} + \frac{1}{x}$ ，则f（﹣1）=（）

A、﹣2 B、0 C、1 D、2

查看试题解析
4. 已知三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，体积为 $\frac{9}{4}$ ，底面是边长为 $\sqrt{3}$ 的正三角形，若P为底面A₁B₁C₁的中心，则PA与平面A₁B₁C₁所成角的大小为（）

A、 $\frac{5 π}{12}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{6}$

查看试题解析
5. 函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（）

A、 $\frac{3 π}{4}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、0 D、- $\frac{π}{4}$

查看试题解析
6. 在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组 ${\begin{matrix} 2 x - y - 2 \geq 0 \\ x + 2 y - 1 \geq 0 \\ 3 x + y - 8 \leq 0 \end{matrix}$ 所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为（）

A、2 B、1 C、- $\frac{1}{3}$ D、- $\frac{1}{2}$

查看试题解析
7. 给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
8. 函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
9. 过点（3，1）作圆（x﹣1）²+y²=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（）

A、2x+y﹣3=0 B、2x﹣y﹣3=0 C、4x﹣y﹣3=0 D、4x+y﹣3=0

查看试题解析
10. 用0，1，2，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（）

A、243 B、252 C、261 D、279

查看试题解析
11. 抛物线C₁： $y = \frac{1}{2 p} x^{2} (p ＞ 0)$ 的焦点与双曲线C₂： $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 的右焦点的连线交C₁于第一象限的点M．若C₁在点M处的切线平行于C₂的一条渐近线，则p=（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{8}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

查看试题解析
12. 设正实数x，y，z满足x²﹣3xy+4y²﹣z=0．则当 $\frac{x y}{z}$ 取得最大值时， $\frac{2}{x} + \frac{1}{y} - \frac{2}{z}$ 的最大值为（）

A、0 B、1 C、 $\frac{9}{4}$ D、3

查看试题解析

二、填空题

13. 执行右面的程序框图，若输入的ɛ值为0.25，则输出的n值为．

查看试题解析
14. 在区间[﹣3，3]上随机取一个数x使得|x+1|﹣|x﹣2|≥1的概率为．

查看试题解析
15. 已知向量 $\vec{A B}$ 与 $\vec{A C}$ 的夹角为120°，且| $\vec{A B}$ |=3，| $\vec{A C}$ |=2．若 $\vec{A P}$ =λ $\vec{A B}$ + $\vec{A C}$ ，且 $\vec{A P}$ ⊥ $\vec{B C}$ ，则实数λ= ．

查看试题解析
16. 定义“正对数”：ln⁺x= ${\begin{matrix} 0, 0 ＜ x ＜ 1 \\ \ln x, x \geq 1 \end{matrix}$ ，现有四个命题：
①若a＞0，b＞0，则ln⁺（a^b）=bln⁺a；
②若a＞0，b＞0，则ln⁺（ab）=ln⁺a+ln⁺b；
③若a＞0，b＞0，则 $\ln^{+} (\frac{a}{b}) \geq \ln^{+} a - \ln^{+} b$ ；
④若a＞0，b＞0，则ln⁺（a+b）≤ln⁺a+ln⁺b+ln2．
其中的真命题有（写出所有真命题的序号）

查看试题解析

三、解答题

17. 设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a+c=6，b=2， $\cos B = \frac{7}{9}$ ．

(1)、求a，c的值；

(2)、求sin（A﹣B）的值．

查看试题解析
18. 如图所示，在三棱锥P﹣ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH．

(1)、求证：AB∥GH；

(2)、求二面角D﹣GH﹣E的余弦值．

查看试题解析
19. 甲乙两支排球队进行比赛，先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是 $\frac{1}{2}$ ，其余每局比赛甲队获胜的概率都是 $\frac{2}{3}$ ．设各局比赛结果相互独立．

(1)、分别求甲队3：0，3：1，3：2胜利的概率；

(2)、若比赛结果3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分，对方得1分，求乙队得分X的分布列及数学期望．

查看试题解析
20. 设等差数列{a_n}的前n项和为S_n ，且S₄=4S₂ ， a_2n=2a_n+1．

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、设数列{b_n}的前n项和为T_n且 $T_{n} + \frac{a_{n} + 1}{2^{n}} = λ$ （λ为常数）．令c_n=b_2n（n∈N^*）求数列{c_n}的前n项和R_n ．

查看试题解析
21. 设函数 $f (x) = \frac{x}{e^{2 x}} + c (e = 2.71828 \dots ， c \in R)$ ．

(1)、求f（x）的单调区间及最大值；

(2)、讨论关于x的方程|lnx|=f（x）根的个数．

查看试题解析
22. 椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 （ a > 0 ， b > 0 ）$ 的左右焦点分别是F₁ ， F₂ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，过F₁且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF₁ ， PF₂ ，设∠F₁PF₂的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；

(3)、在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF₁ ， PF₂的斜率分别为k₁ ， k₂ ，若k≠0，试证明 $\frac{1}{k k_{1}} + \frac{1}{k k_{2}}$ 为定值，并求出这个定值．

查看试题解析