山东省烟台市牟平区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2023-12-28 类型：期中考试

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一、选择题：（本题共10个小题，每小题3分，满分30分．每小题都给出标号A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案用2B铅笔在答题卡上涂黑．）

1. 若锐角 $α$ 满足 $c o s α = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $∠ α$ 的度数是（）

A、 $15 °$ B、 $30 °$ C、 $45 °$ D、 $60 °$

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2. 抛物线 $y = x^{2} + 2 x + c + 1$ 与直线 $y = 1$ 只有一个公共点，则c的值是（）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- 1$ D、1

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3. 按如图所示的运算程序，能使输出y值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的是（）

A、 $α = 60 ° ， β = 45 °$ B、 $α = 30 ° ， β = 60 °$ C、 $α = 30 ° ， β = 75 °$ D、 $α = 45 ° ， β = 60 °$

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4. 下表中列出的是一个二次函数的自变量x与因变量y的几组对应值：
x
…
$- 2$
0
1
3
…
y
…
6
$- 4$
$- 6$
$- 4$
…
下列各选项中，正确的是（）

A、这个函数的图象开口向下 B、这个函数的图象与x轴无交点 C、这个函数的最小值小于 $- 6$ D、当 $x > 1$ 时，y的值随x值的增大而增大

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5. 小明骑自行车沿着斜坡向上骑行了 $200 m$ ，其铅直高度上升了 $30 m$ ，在用科学计算器求坡角α的度数时，其按键顺序是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 竖直上抛的小球的高度 $h (m)$ 与运动时间 $t (s)$ 的函数表达式为 $h = a t^{2} + b t$ ，若小球在上抛后第 $3 s$ 与第 $7 s$ 时离地面距离相等，则下列时刻中小球的高度最高的是（）

A、第 $4 s$ B、第 $4.8 s$ C、第 $4.9 s$ D、第 $5.2 s$

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7. 一次函数 $y = a c x + b$ 与二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 如图，某数学兴趣小组测量一棵树 $C D$ 的高度，在点A处测得树顶C的仰角为 $45 °$ ，在点B处测得树顶C的仰角为 $60 °$ ，且A，B，D三点在同一直线上，若 $A B = 12 m$ ，则这棵树 $C D$ 的高度是（）

A、 $6 (3 - \sqrt{3}) m$ B、 $6 (3 + \sqrt{3}) m$ C、 $4 (3 - \sqrt{3}) m$ D、 $4 (3 + \sqrt{3}) m$

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9. 如图，在 $4 \times 4$ 网格正方形中，每个小正方形的边长为1，若 $△ A B C$ 的顶点均是格点，则 $t a n ∠ B A C$ 的值是（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、0.5 D、2

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10. 如图，在▱ABCD中，∠A=60°，AB=2，AD=1，点E，F在▱ABCD的边上，从点A同时出发，分别沿A→B→C和A→D→C的方向以每秒1个单位长度的速度运动，到达点C时停止，线段EF扫过区域的面积记为y，运动时间记为x，能大致反映y与x之间函数关系的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. 将抛物线 $y = 3 (x - 4)^{2} + 3$ 向左平移4个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线的表达式是．

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12. 若抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的部分图象如图所示，抛物线与x轴的一个交点坐标为 $(- 3 ， 0)$ ，对称轴为 $x = - 1$ ，则当 $c < y < 0$ 时，x的取值范围是．

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13. 如图，在直角坐标系中， $△ A B C$ 的顶点C与原点O重合，点A在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0 ， x > 0)$ 的图象上，点B的坐标为 $(4 ， 3)$ ， $A B ∥ y$ 轴，若 $A B = B C$ ，则 $k =$ ．

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14. 活动楼梯如图所示， $∠ B = 90 °$ ，斜坡 $A C$ 的坡比为 $1 ： 1$ ，斜坡 $A C$ 的坡面长度为 $8 \sqrt{2} m$ ，则走这个活动楼梯从A点到C点上升的高度 $B C$ 为．

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15. 直角三角形纸片 $A B C$ 的两直角边长分别为6，8，现将 $△ A B C$ 按如图所示方式折叠，使点A与点B重合，折痕为 $D E$ ，则 $t a n ∠ C B E$ 的值为．

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16. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ ，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点 $(- 2 ， 0)$ ，对称轴为直线 $x = - \frac{1}{2}$ ．对于下列结论：① $a b c < 0$ ；② $b^{2} - 4 a c > 0$ ；③ $a + b + c = 0$ ；④ $a m^{2} + b m < \frac{1}{4} (a - 2 b)$ （其中 $m \neq - \frac{1}{2}$ ）；⑤若 $A (x_{1} ， y_{1})$ 和 $B (x_{2} ， y_{2})$ 均在该函数图象上，且 $x_{1} > x_{2} > 1$ ，则 $y_{1} > y_{2}$ ．其中正确结论有．（填写序号）

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三、解答题（满分72分）

17. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $a ， b ， c$ 分别是 $∠ A ， ∠ B ， ∠ C$ 的对边．若 $a = \sqrt{5} ， b = \sqrt{15}$ ，试解这个直角三角形．

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18. 如图1， $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ， D是 $B C$ 边上的一个动点（不与点B，C重合）， $D E ∥ A B ， D C ∥EF$ ，交 $A C$ 于点 $E ， E F ∥ B C$ ，交 $A B$ 于点F ．设 $B D$ 的长为x ，四边形 $B D E F$ 的面积为y，y与x的函数图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点P的坐标为 $(2 ， 3)$ ．

图1 图2
求： $△ A B C$ 的边 $B C$ 和 $A B$ 的长．

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19. 如图，点A在第一象限内，AB⊥x轴于点B，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0 ， x > 0)$ 的图象分别交AO，AB于点C，D.已知点C的坐标为(2，2)，BD=1.

(1)、求k的值及点D的坐标.

(2)、已知点P在该反比例函数图象上，且在△ABO的内部（包括边界），直接写出点P的横坐标x的取值范围.

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20. 如图所示，一艘渔船从海域A处到C渔港途经B岛，当它由海域A处出发时，发现它的北偏东 $45 °$ 方向有一信号塔P ．它从海域A处向正北方向航行了 $30 \sqrt{2} n m i l e$ 到达B岛，发现信号塔P在它北偏东 $75 °$ 方向，然后它由B岛向北偏东 $15 °$ 方向航行了 $60 n m i l e$ 到达C渔港．

(1)、求海域A处与信号塔P的距离；

(2)、求信号塔P相对于C渔港的位置．

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21. 某文具店以每台30元的价格购进一批计算器，如果以每台40元出售，那么一个月内能售出300台，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10台，设计算器的销售单价提高x元．

(1)、文具店希望一个月内销售该品牌计算器能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问计算器的销售单价应提高多少元？

(2)、当销售单价定为多少元时，该文具店一个月内销售该品牌计算器获得的利润最大？最大利润是多少元？

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22. 已知抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x + 3 (a \neq 0)$ .

(1)、求抛物线的对称轴；

(2)、把抛物线沿y轴向下平移 $3 | a |$ 个单位，若抛物线的顶点落在x轴上，求a的值；

(3)、设点 $P (a ， y_{1})$ ， $Q (2 ， y_{2})$ 在抛物线上，若 $y_{1} > y_{2}$ ，求a的取值范围.

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23. 科技是第一生产力，无人机已广泛应用于生产和生活的各个领域，如：代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量 $A B ， C D$ 两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在 $A B ， C D$ 两楼之间上方的点O处，点O距地面 $A C$ 的高度为 $60 m$ ，此时观测到楼 $A B$ 底部点A处的俯角为 $70 °$ ，楼 $C D$ 上点E处的俯角为 $30 °$ ，沿水平方向由点O飞行 $24 m$ 到达点F ，测得点E处俯角为 $60 °$ ，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼 $A B$ 与 $C D$ 之间的距离 $A C$ 的长（结果精确到 $1 m$ ）．
（参考数据表）
计算器按键顺序
计算结果（已精确到0.01）
$70 °$
2.75
0.34
1.73

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24. 如图，已知抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 经过 $A (0 ， 3)$ 和 $B (\frac{7}{2} ， - \frac{9}{4})$ 两点，直线 $A B$ 与x轴相交于点 $C ， P$ 是直线 $A B$ 上方的抛物线上的一个动点， $P D ⊥ x$ 轴交直线 $A B$ 于点D ．

(1)、求该抛物线的表达式；

(2)、若 $P E ∥ x$ 轴交直线 $A B$ 于点E ，求 $P D + P E$ 的最大值；

(3)、若以 $A ， P ， D$ 为顶点的三角形与 $△ A O C$ 相似，请求出所有满足条件的点P ，点D的坐标．

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计算器按键顺序	计算结果（已精确到0.01）
	$70 °$
	2.75
	0.34
	1.73

x	…	$- 2$	0	1	3	…
y	…	6	$- 4$	$- 6$	$- 4$	…