山东省青岛市李沧区2023-2024学年八年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2023-12-28 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. $\sqrt{3}$ 的倒数是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $- \sqrt{3}$

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2. 如图是由边长为 $1 m$ 的方砖铺设的地板示意图，如果小球在地板上从点 $A$ 滚动到点 $B$ ，则小球滚动的最短路程是（）

A、 $2 m$ B、 $4 m$ C、 $2 \sqrt{5} m$ D、 $5 m$

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3. 在平面直角坐标系内有一点 $P (x ， y)$ ，若点 $P$ 位于第二象限，并且点 $P$ 到 $x$ 轴和 $y$ 轴的距离分别为5，2，则点 $P$ 的坐标是（）

A、 $(- 5 ， 2)$ B、 $(2 ， 5)$ C、 $(2 ， - 5)$ D、 $(- 2 ， 5)$

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4. 若一次函数 $y = 2 x - b$ 的图象经过点 $(0 ， - 3)$ ，则下列各点在该一次函数图象上的是（）

A、 $(2 ， 1)$ B、 $(2 ， 3)$ C、 $(- 1 ， 1)$ D、 $(1 ， 5)$

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5. 下列说法正确的是（）

A、0.2是0.4的算术平方根 B、－5是25的平方根 C、 $\sqrt{81}$ 的算术平方根是9 D、16的平方根是4

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6. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 与 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 关于 $x$ 轴对称，其中点 $A ， B ， C$ 的对应点分别为点 $A^{'} ， B^{'} ， C^{'}$ ，若点 $P (2 ， 3)$ 在 $△ A B C$ 的边上，则点 $P$ 在 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 上的对应点 $P^{'}$ 的坐标是（）

A、 $(3 ， 2)$ B、 $(- 2 ， 3)$ C、 $(2 ， - 3)$ D、 $(- 2 ， - 3)$

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7. 《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kŭn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？其大意：如图，推开双门（大小相同），双门间隙 $C D = 2$ 寸，点 $C$ 、点 $D$ 与门槛 $A B$ 的距离 $C E = D F = 1$ 尺（1尺 $= 10$ 寸），则 $A B$ 的长是（）

A、26寸 B、50.5寸 C、52寸 D、101寸

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8. 对于一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ ，根据两位同学的对话信息，下列结论一定正确的是（）

A、 $y$ 随 $x$ 的增大而增大 B、函数图象与 $y$ 轴的交点位于 $x$ 轴下方 C、 $k - b < 0$ D、 $k + b > 0$

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二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

9. 计算： $\sqrt[3]{- 64}$ 的相反数是．

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10. 已知一次函数 $y = k x + 3 (k \neq 0)$ ，其函数值 $y$ 随 $x$ 值的增大而增大．当 $x = - 2$ 时，函数值 $y$ 可以是（请写出一个你认为正确的即可）．

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11. 如图，正方形的面积为12，则与该正方形的边长最接近的整数是．

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12. 已知一次函数 $y = a x - 5$ 的图象经过点 $A (- 4 ， 3)$ ，则关于 $x$ 的一元一次方程 $a x - 5 = 3$ 的解为．

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13. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = ∠ C D A = 90 °$ ，分别以四边形 $A B C D$ 的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为 $S_{1} ， S_{2} ， S_{3} ， S_{4}$ ．若 $S_{1} = 6 ， S_{2} = 10 ， S_{3} = 12$ ，则 $S_{4}$ 的值为．

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14. 在同一直角坐标系中，直线 $y_{1} = 3 x + 1$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于 $A ， B$ 两点，直线 $y_{2} = k x + b$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于 $C ， D$ 两点．若 $A B ∥ C D$ ，点 $D$ 在点 $B$ 的下方，并且 $B D = 6$ ，则直线 $y_{2}$ 的表达式为．

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15. 如图，在直角坐标系中，长方形 $O A B C$ 的顶点 $A ， C$ 分别在 $x$ 轴， $y$ 轴上，点 $A ， C$ 的坐标分别为 $(- 7 ， 0) ， (0 ， 4) . E$ 为边 $B C$ 上一点，点 $D$ 的坐标为 $(- 5 ， 0)$ ，若 $△ O D E$ 是腰长为5的等腰三角形，则点 $E$ 的坐标是．

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16. 皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积 $S = N + \frac{1}{2} L - 1$ ，其中 $N ， L$ 分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点．已知 $A (0 ， 8) ， B (4 ， 4)$ ，则 $△ A O B$ 内部的格点个数是．

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三、解答题（本大题共8小题，共72分）

17. 计算

(1)、 $3 \sqrt{8} - \sqrt{32}$

(2)、 $\frac{\sqrt{6} \times \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

(3)、 $(\sqrt{24} + \sqrt{\frac{1}{6}}) \div \sqrt{3}$

(4)、 $\frac{\sqrt{27} - \sqrt{12}}{\sqrt{3}} - 1$

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18. 围棋，起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有4000多年的历史．如图是某围棋棋盘的一部分，若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，棋盘上 $A ， B$ 两颗棋子的坐标分别为 $A (- 2 ， 3) ， B (0 ， - 1)$ ．

(1)、根据题意，画出相应的平面直角坐标系；

(2)、有一颗黑色棋子 $C$ 的坐标为 $(2 ， 2)$ ，请标注出黑色棋子 $C$ 的位置．

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19. 把下列各数写入相应的集合中：
$- \frac{1}{7} ， 2.5 ， {(\sqrt{\frac{4}{5}})}^{2} ， \sqrt[3]{9} ， 0 ， \frac{π}{2} ， - \sqrt{(- 3)^{2}} ， 0.5757757775 \cdot \cdot \cdot$ （相邻两个5之间7的个数逐次加1）

(1)、有理数集合{ …}；

(2)、无理数集合{ …}．

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20. 党的十八大以来，各地积极推动城市绿化工作，大力拓展城市生态空间，让许多城市再现绿水青山．某小区物业在小区拐角清理出了一块空地进行绿化改造，如图， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 12 m ， B C = 9 m ， A D = 17 m ， C D = 8 m$ ．

(1)、为了方便居民的生活，在绿化时将修一条从点 $A$ 直通点 $C$ 的小路，求小路 $A C$ 的长度；

(2)、若该空地的改造费用为每平方米150元，试计算改造这片空地共需花费多少元？

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21. 我们知道 $\sqrt{2}$ 是无理数，因此 $\sqrt{2}$ 的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用 $\sqrt{2} - 1$ 来表示 $\sqrt{2}$ 的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为 $\sqrt{2}$ 的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如： $\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}$ ，即 $2 < \sqrt{5} < 3$ ，所以 $\sqrt{5}$ 的整数部分为2，小数部分为 $\sqrt{5} - 2$ ．
请根据以上信息，回答下列问题：

(1)、 $\sqrt{34}$ 整数部分是，小数部分是；

(2)、如果 $\sqrt{11}$ 的整数部分为 $a ， \sqrt{17}$ 的整数部分为 $b$ ，求 $12 a + 7 b$ 的立方根；

(3)、已知 $9 - \sqrt{7} = x - y$ ，其中 $x$ 是整数，且 $0 < y < 1$ ，求 $x + y$ 的值．

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22. 在平面直角坐标系中， $A ， B$ 两点的坐标分别是 $A (0 ， a) ， B (0 ， b)$ ，且 $\sqrt{a + 6} + | 12 - b | = 0$ ．

(1)、求 $b - a$ 的平方根；

(2)、若在 $x$ 轴的正半轴上有一点 $C$ ，且 $△ A B C$ 的面积是27，求点 $C$ 的坐标；

(3)、过（2）中的点 $C$ 作直线 $M N ∥ y$ 轴，在直线 $M N$ 上是否存在点 $D$ ，使得 $△ A C D$ 的面积是 $△ A B C$ 面积的 $\frac{1}{9}$ ？若存在，请求出点 $D$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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23. 如图，一次函数 $y_{1} = a x + b$ 的图象与 $y$ 轴负半轴相交于点 $A$ ，与正比例函数 $y_{2} = k x$ 的图象交于点 $B (- 8 ， 6)$ ，且 $O A = \frac{1}{2} O B$ ．

(1)、求正比例函数与一次函数的表达式；

(2)、请直接写出当 $y_{1} > y_{2}$ 时， $x$ 的取值范围．

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24. 通过小学的学习我们知道，在水平面上推或拉一个物体时，在物体和水平面之间会产生阻碍物体运动的力．像这样的力是摩擦力，小明利用如图所示的装置测量在不同重量下某木块与木板之间的摩擦力．在木块上放置砝码，缓慢向左拉动水平放置的木板，当木块和砝码相对桌面静止且木板仍在继续滑动时，弹簧秤的示数即为木块受到的摩擦力的大小．
小明进行了六次实验，并将实验所得数据制成下表：
砝码的质量m/g
0
50
100
150
200
250
滑动摩擦力f/N
1.8
2.0
2.2
2.4
2.6
2.8

(1)、请在下面的平面直角坐标系内，描出六次测量的有序数对（m ， f）所对应的六个点；

(2)、这些点是否在一条直线上？如果是，请确定f与m的关系式；如果不是，请说明理由．

(3)、在某次实验中，测得木块受到的摩擦力为4.2N，则此时砝码的质量是多少？

(4)、在实验过程中，当砝码的质量为100g~800g时，请直接写出木块受到的摩擦力的最大值和最小值分别为多少．

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砝码的质量m/g	0	50	100	150	200	250
滑动摩擦力f/N	1.8	2.0	2.2	2.4	2.6	2.8