山东省济南市莱芜区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2023-12-28 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $s i n B = \frac{3}{5}$ ，则 $t a n A =$ （）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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2. 下列各函数中， $y$ 随 $x$ 的增大而增大的是（）

A、 $y = \frac{1}{2} x$ B、 $y = - 3 x$ C、 $y = - x^{2}$ D、 $y = - \frac{1}{x}$

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3. 在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线 $x = - 1$ 的是（）

A、 $y = - x^{2} + 2 x$ B、 $y = x^{2} - 1$ C、 $y = (x + 1)^{2}$ D、 $y = (x - 1)^{2}$

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4. 电线杆 $A B$ 直立在水平的地面 $B C$ 上， $A C$ 是电线杆 $A B$ 的一根拉线，测得 $B C = 5$ ， $∠ A C B = 52 °$ ，则拉线 $A C$ 的长为（）

A、 $\frac{5}{t a n 52 °}$ B、 $\frac{5}{c o s 52 °}$ C、 $5 \cdot c o s 52 °$ D、 $\frac{5}{s i n 52 °}$

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5. 抛物线 $y = 2 x^{2}$ 可以由抛物线 $y = 2 (x + 1)^{2} - 3$ 平移而得到，下列平移正确的是（）

A、先向左平移1个单位长度，然后向上平移3个单位长度 B、先向左平移1个单位长度，然后向下平移3个单位长度 C、先向右平移1个单位长度，然后向上平移3个单位长度 D、先向右平移1个单位长度，然后向下平移3个单位长度

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6. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A、 $a b c < 0$ B、 $2 a + b = 0$ C、 $a - b + c < 0$ D、 $b^{2} < 4 a c$

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7. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B C A = 90 °$ ， $C D$ 是 $A B$ 边上的中线， $B C = 6$ ， $C D = 5$ ，则 $c o s ∠ A C D =$ （）

A、 $\frac{5}{6}$ B、 $\frac{5}{8}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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8. 已知点 $A (- 4 ， y_{1})$ ， $B (2 ， y_{2})$ ， $C (3 ， y_{3})$ 都在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k < 0)$ 的图象上，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系为（）

A、 $y_{1} > y_{3} > y_{2}$ B、 $y_{2} > y_{3} > y_{1}$ C、 $y_{3} > y_{2} > y_{1}$ D、 $y_{3} > y_{1} > y_{2}$

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9. 已知一次函数的图象如图所示，则 $y = \frac{k b}{| x |}$ 的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 如图，将菱形纸片 $A B C D$ 沿过点 $C$ 的直线折叠，使点 $D$ 落在射线 $C A$ 上的点 $E$ 处，折痕 $C P$ 交 $A D$ 于点 $P$ ．若 $∠ A B C = 30 °$ ， $A P = \sqrt{6}$ ，则 $P D =$ （）

A、 $2 \sqrt{6}$ B、 $3 + \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2} + \sqrt{6}$ D、 $3 \sqrt{3}$

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二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请直接填写答案）

11. $y = (m - 2) x^{m^{2} - 5}$ 是反比例函数，则 $m$ 的值为．

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12. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $c o s B = \frac{1}{2}$ ，则 $s i n 2 A =$ ．

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13. 如图，在高楼前 $D$ 点测得楼顶的仰角为 $30 °$ ，向高楼前进 $a$ 米到 $C$ 点，又测得仰角为 $60 °$ ，已知该高楼的高度为 $15 \sqrt{3}$ 米，则 $a =$ 米．

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14. 已知抛物线 $y = 3 x^{2} + 1$ 与直线 $y = 4 s i n α \cdot x$ 只有一个交点，则锐角 $α =$ 度．

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15. 如图，直线与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于 $A$ ， $B$ 两点，且与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象交于点 $C$ ，若 $S_{△ A O B} = S_{△ C O B} = 5$ ，则 $k =$ ．

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16. 超市购进一批单价为40元的生活用品，如果按每件50元出售，那么每天可销售200件，经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少10件，则超市销售此生活用品每天可获得最大销售利润为元．

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三、解答题（本大题共10小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17. 计算： $(π - 3.14)^{0} + | - \sqrt{3} | - {(\frac{1}{2})}^{- 1} - s i n 60 °$ ．

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18. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，点 $D$ 在 $B C$ 边上， $∠ A D C = 45 °$ ， $B D = 3$ ， $t a n B = \frac{4}{5}$ ，求 $B C$ 的长．

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19. 填写下表：
二次函数性质
顶点坐标
$x$ 取何值时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小
$y = x^{2} + 2 x + 1$

$y = - \frac{1}{2} x^{2} + 3$

$y = 2 (x + 1) (x - 3)$

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20. 如图，正方形 $A B C D$ 的顶点 $A$ 、 $B$ 分别在 $x$ 轴和 $y$ 轴上，反比例函数的图象经过点 $C$ ， $O A = 2$ ， $O B = 4$ ．

(1)、求反比例函数的表达式；

(2)、若将正方形 $A B C D$ 沿 $x$ 轴向右平移得到正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ．当点 $B_{1}$ 在反比例函数的图象上时，求出平移的距离 $d$ ．

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21. 图①是一个倾斜角为 $α$ 的斜坡的横截面，斜坡顶端 $B$ 与斜坡底端 $A$ 的水平距离AC为6米，为了对这个斜坡的绿地进行喷灌，在斜坡底端 $A$ 处安装了一个喷头，喷头喷出的水珠在空中走过的曲线可以看作抛物线的一部分．设喷出水珠的竖直高度为 $y$ （单位：米）（水珠的竖直高度是指水珠与喷头所在水平面的距离），水珠与喷头 $A$ 的水平距离为 $x$ （单位：米）， $y$ 与 $x$ 的之间近似满足二次函数关系，图②记录了 $x$ 与 $y$ 的相关数据， $E$ 为抛物线的顶点．
① ②

(1)、求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；

(2)、求斜坡的坡度．

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22. 某地修建了一座以“讲好家乡故事，厚植种子情怀”为主题的半径为 $900 m$ 的圆形纪念园．如图，纪念园中心 $A$ 位于 $C$ 村西南方向和 $B$ 村南偏东 $61 °$ 方向上． $C$ 村在 $B$ 村的正东方向且两村相距 $2.8 k m$ ．有关部门计划在 $B$ ， $C$ 两村之间修一条笔直的公路来连接两村．问该公路是否穿越纪念园？试通过计算加以说明．
（参考数据： $s i n 61 ° \approx 0.87$ ， $c o s 61 ° \approx 0.48$ ， $t a n 61 ° \approx 1.80$ ， $\sqrt{2} \approx 1.41$ ）

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23. 如图，一次函数 $y = k x + b$ （ $k$ 、 $b$ 为常数， $k \neq 0$ ）的图象与反比例函数 $y = \frac{n}{x}$ （ $n$ 为常数且 $n \neq 0$ ）的图象都经过 $A (- 2 ， - 4)$ ， $B (4 ， m)$ 两点．

(1)、求一次函数的表达式；

(2)、过 $O$ 、 $A$ 两点的直线与反比例函数图象交于另一点 $C$ ，连接 $B C$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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24. 如图，某一时刻太阳光从教室窗户射入房间内，与地面的夹角 $∠ D P C = 30 °$ ，已知窗户的高度 $A F = 2 m$ ，窗台的高度 $C F = 1 m$ ，若 $C P = \frac{5}{2} \sqrt{3} m$ ， $A D$ 为窗外水平遮阳篷．

(1)、求 $B C$ 的长；

(2)、求遮阳篷 $A D$ 的宽度（ $\sqrt{3} \approx 1.732$ ，结果精确到 $0.1 m$ ）．

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25. 如图，一次函数 $y = k x + 2$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A (- 4 ， 0)$ ，与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象交于点 $B$ ， $C (- 6 ， c)$ ．

(1)、求反比例函数的表达式及点 $B$ 的坐标；

(2)、当 $k x + b \geq \frac{m}{x}$ 时，直接写出 $x$ 的取值范围；

(3)、在双曲线 $y = \frac{m}{x}$ 上是否存在点 $P$ ，使 $△ A B P$ 是以点 $A$ 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由。

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26. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + 2 x + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ， $B (3 ， 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，抛物线的对称轴是直线 $x = 1$ ．

(1)、求抛物线的解析式及 $C$ 点坐标；

(2)、如图1，连接 $A C$ ，在对称轴上找一点 $D$ ，且点 $D$ 在第一象限内，使得 $△ A C D$ 是以 $∠ D C A$ 为底角的等腰三角形，求点 $D$ 的坐标；

(3)、如图2，第一象限内的抛物线上有一动点 $M$ ，过点 $M$ 作 $M N ⊥ x$ 轴，垂足为 $N$ ，连接 $B C$ 交 $M N$ 于点 $Q$ ．当 $M Q + \sqrt{2} C Q$ 的值最大时，求点 $M$ 的坐标，并求出这个最大值。

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二次函数性质	顶点坐标	$x$ 取何值时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小
$y = x^{2} + 2 x + 1$
$y = - \frac{1}{2} x^{2} + 3$
$y = 2 (x + 1) (x - 3)$