黑龙江省黑河市逊克县2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题

试卷更新日期：2023-12-28 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 直线 $x + \sqrt{3} y - 1 = 0$ 的倾斜角是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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2. 已知 $\vec{n_{1}} = (\sqrt{3} ， x ， 2)$ ， $\vec{n_{2}} = (- 3 ， \sqrt{3} ， - 2 \sqrt{3})$ 分别是平面 $α ， β$ 的法向量，若 $α / / β$ ，则 $x =$ （）

A、 $- 7$ B、 $- 1$ C、1 D、7

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3. 已知椭圆过点 $(0 ， 2)$ ，焦点分别为 $F_{1} (0 ， - 1)$ ， $F_{2} (0 ， 1)$ ，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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4. 如图，在四面体OABC中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ .点M在OA上，且 $O M = 2 M A$ ， $N$ 为BC中点，则 $\vec{M N}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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5. 双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的焦点到渐近线的距离等于 $a$ ，则双曲线 $C$ 的渐近线方程为（）

A、 $\sqrt{2} x \pm y = 0$ B、 $x \pm \sqrt{2} y = 0$ C、 $x \pm y = 0$ D、 $\sqrt{3} x \pm y = 0$

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6. 已知圆 $C_{1} ： {（ x - 1 ）}^{2} + y^{2} = 1$ ，圆 $C_{2} ： {（ x - 4 ）}^{2} + y^{2} = 4$ ，则圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 的位置关系为（）

A、相离 B、相交 C、外切 D、内切

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7. 已知方程 $\frac{x^{2}}{10 - t} + \frac{y^{2}}{t - 4} = 1$ 表示的曲线是椭圆，则 $t$ 的取值范围（）

A、 $(4 ， 7)$ B、 $(4 ， 7) \cup (7 ， 10)$ C、 $(7 ， 10)$ D、 $(4 ， 10)$

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8. $F$ 是抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点，点 $A (1 ， 3)$ ， $P$ 为抛物线上一点， $P$ 到直线 $x = - 1$ 的距离为 $d$ ，则 $d + | P A |$ 的最小值是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $1 + \sqrt{2}$ C、3 D、 $1 + \sqrt{3}$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知直线 $l ： k x - 2 y - 4 k + 1 = 0$ ，则下列表述正确的是（）

A、当 $k = 2$ 时，直线的倾斜角为 $4 5^{∘}$ B、当实数 $k$ 变化时，直线 $l$ 恒过点 $(4 ， \frac{1}{2})$ C、当直线 $l$ 与直线 $x + 2 y - 4 = 0$ 平行时，则两条直线的距离为1 D、直线 $l$ 与两坐标轴正半轴围成的三角形面积的最小值为4

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10. 已知曲线 $C_{1}$ ： $4 x^{2} + 3 y^{2} = 48$ ， $C_{2}$ ： $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，则（）

A、 $C_{1}$ 的长轴长为4 B、 $C_{2}$ 的渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{3} x$ C、 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的焦点坐标相同 D、 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的离心率互为倒数

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11. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点F到准线的距离为4，直线 $l$ 过点F且与抛物线交于A、B两点，若 $M (m ， 2)$ 是线段AB的中点，则（）

A、m = 1 B、p = 4 C、直线 $l$ 的方程为 $y = 2 x - 4$ D、 $| A B | = 5$

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12. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F分别为 $A_{1} B_{1}$ ， AB的中点，则下列结论正确的是（）

A、点B到直线 $A_{1} C_{1}$ 的距离为 $\sqrt{6}$ B、直线CF到平面 $A E C_{1}$ 的距离为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、直线 $A_{1} C_{1}$ 与平面 $A E C_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ D、直线 $A_{1} C_{1}$ 与直线 $B_{1} F$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{10}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知异面直线 $A B$ 和 $C D$ 的方向向量分别为 $\vec{A B} = (1 ， 1 ， 1)$ ， $\vec{C D} = (- 2 ， 0 ， 4)$ 则异面直线 $A B$ 和 $C D$ 所成角的余弦值为．

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14. 过椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得线段的长度为．

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15. 与双曲线 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ 有共同的渐近线，且经过点 $(- 3 ， 2 \sqrt{3})$ 的双曲线方程是.

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16. 设抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ ，若抛物线上一点 $M (2 ， y_{0})$ 到点 $F$ 的距离为6，则 $y_{0} =$ .

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四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. 已知直线 $l$ 过点 $M (2 ， 1)$ ， $O$ 为坐标原点．

(1)、若 $l$ 与 $O M$ 垂直，求直线 $l$ 的方程：

(2)、若直线与 $2 x - y + 1 = 0$ 平行，求直线 $l$ 的方程．

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18. 已知圆 $C_{1} ： {（ x - 1 ）}^{2} + {（ y - 2 ）}^{2} = 9$ ，圆 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} + 4 x + 4 y + 4 = 0$ ，直线 $l ： x - y - 3 = 0$ .

(1)、求圆心 $C_{1}$ 到直线 $l$ 的距离；

(2)、已知直线 $l$ 与圆 $C_{1}$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，求弦 $|M N|$ 的长；

(3)、判断圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 的位置关系.

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19. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C ⊥ B C$ ， $A C = B C = C C_{1} = 2$ ．

(1)、求点 $B_{1}$ 到平面 $A B C_{1}$ 的距离；

(2)、若点 $M$ 是棱 $B C$ 的中点，求直线 $B_{1} M$ 与平面 $A B C_{1}$ 所成角的正弦值．

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20. 已知 $F$ 是抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点， $M (4 ， y_{0})$ 是抛物线 $C$ 上一点，且 $| M F | = 4$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，且线段 $A B$ 的中点坐标为 $(8 ， 12)$ ，求直线 $l$ 的斜率.

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21. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{5} = 1 (a > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， P为C上一点，且 $| P F_{1} | = 5$ ， $| P F_{2} | = 1$ ．

(1)、求 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 的坐标．

(2)、若直线l与C交于A，B两点，且弦AB的中点为 $P (- 2 ， 1)$ ，求直线l的斜率．

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22. 在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (1 ， 0)$ ，直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为2．

(1)、求M的轨迹方程；

(2)、记M的轨迹为曲线 $Γ$ ，过点 $P (1 ， 1)$ 能否作一条直线l，与曲线 $Γ$ 交于两点D、E，使得点P是线段DE的中点？

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