广东省广州市重点中学2024届高三上学期12月适应性测试数学试卷

试卷更新日期：2023-12-28 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有一项符合题目要求.

1. 设集合 $A = {x | x + 1 > 0} ， B = {y | y = \sqrt{1 - 2^{x}}}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(- 1 ， 0]$ B、 $[0 ， 1)$ C、 $(- 1 ， 1)$ D、 $[0 ， + \infty)$

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2. 若复数 $z = \frac{m - i}{1 + i}$ 是实数，则实数 $m =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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3. 已知 $(3 x - 1) (x + 1)^{n}$ 的展开式中所有项的系数之和为64，则展开式中含 $x^{4}$ 的项的系数为（）

A、20 B、25 C、30 D、35

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4. 若 $f (x) = (x + a) l n \frac{2 x - 1}{2 x + 1}$ 为偶函数，则 $a =$ （）．

A、 $- 1$ B、0 C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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5. 已知 $α$ 为锐角， $c o s α = \frac{1 + \sqrt{5}}{4} ，$ 则 $s i n \frac{α}{2} =$ （）

A、 $\frac{3 - \sqrt{5}}{8}$ B、 $\frac{- 1 + \sqrt{5}}{8}$ C、 $\frac{3 - \sqrt{5}}{4}$ D、 $\frac{- 1 + \sqrt{5}}{4}$

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6. 设函数 $f (x) = (x - 3)^{3} + x - 1$ ， ${a_{n}}$ 是公差不为 $0$ 的等差数列， $f (a_{1}) + f (a_{2}) + \cdot \cdot \cdot + f (a_{7}) = 14$ ，则 $a_{1} + a_{2} + ⋯ a_{7} =$ （）

A、0 B、7 C、14 D、21

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7. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ 的部分图象如图所示，其中 $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $- \frac{π}{2} < φ < 0$ .在已知 $\frac{x_{2}}{x_{1}}$ 的条件下，则下列选项中可以确定其值的量为（）

A、 $ω$ B、 $φ$ C、 $\frac{φ}{ω}$ D、 $A s i n φ$

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8. 已知椭圆和双曲线有相同的焦点 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，它们的离心率分别为 $e_{1}$ 、 $e_{2}$ ，点 $P$ 为它们的一个交点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{2 π}{3}$ ，则 $e_{1}^{2} + e_{2}^{2}$ 的范围是（）

A、 $[\frac{1 + \sqrt{3}}{2} ， + \infty)$ B、 $[\frac{2 + \sqrt{3}}{2} ， + \infty)$ C、 $(2 ， + ∞)$ D、 $(3 ， + \infty)$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9. 某市2022年经过招商引资后，经济收入较前一年增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该市的经济收入的变化情况，统计了该市招商引资前后的年经济收入构成比例，得到如下扇形图：
则下列结论中正确的是（）

A、招商引资后，工资净收入较前一年增加 B、招商引资后，转移净收入是前一年的1.25倍 C、招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收入的 $\frac{2}{5}$ D、招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍

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10. 已知圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} = 1$ ，直线 $l$ ： $y = x + 1$ ，则（）

A、直线 $l$ 在y轴上的截距为1 B、直线 $l$ 的倾斜角为 $\frac{π}{4}$ C、直线 $l$ 与圆 $C$ 有2个交点 D、圆 $C$ 上的点到直线 $l$ 的最大距离为 $\sqrt{2}$

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11. 已知函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 在R上的导函数分别为 $f^{'} (x)$ ， $g^{'} (x)$ ，若 $f (x + 2)$ 为偶函数， $y = g (x + 1) - 2$ 是奇函数，且 $f (3 - x) + g (x - 1) = 2$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f^{'} (2022) = 0$ B、 $g (2023) = 0$ C、 $f (x)$ 是R上的奇函数 D、 $g^{'} (x)$ 是R上的奇函数

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12. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 棱长为4，M为棱 $C C_{1}$ 上的动点， $A M ⊥$ 平面 $α$ ，则下列说法正确的是（）

A、若N为 $D D_{1}$ 中点，当 $A M + M N$ 最小时， $\frac{C M}{C C_{1}} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、当点M与点 $C_{1}$ 重合时，若平面 $α$ 截正方体所得截面图形的面积越大，则其周长就越大 C、直线AB与平面 $α$ 所成角的余弦值的取值范围为 $[\frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{\sqrt{6}}{3}]$ D、当点M与点C重合时，四面体 $A M D_{1} B_{1}$ 内切球表面积为 $\frac{16 π}{3}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{3} ， | \vec{a} + \vec{b} | = | 2 \vec{a} - \vec{b} | ，则 | \vec{b} | =$

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14. 若两条直线 $l_{1} ： y = 3 x + m ， l_{2} ： y = 3 x + n$ 与圆 $x^{2} + y^{2} + 3 x + y + k = 0$ 的四个交点能构成矩形，则 $m + n =$ .

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15. 已知函数 $f (x) = e^{x} - e^{1 - x} - a x$ 有两个极值点 $x_{1}$ 与 $x_{2}$ ，若 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = - 4$ ，则实数a＝.

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16. 设样本空间 $Ω = {a ， b ， c ， d}$ 含有等可能的样本点，且 $A = {a ， b}$ ， $B = {a ， c}$ ， $C = {a ， d}$ ，则A，B，C三个事件（填“是”或“不是”）两两独立，且 $\frac{P (A B C)}{P (A) P (B) P (C)} =$ .

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四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 设 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且有 $2 s i n (B + \frac{π}{6}) = \frac{b + c}{a}$ ．

(1)、求角A；

(2)、若BC边上的高 $h = \frac{\sqrt{3}}{4} a$ ，求 $c o s B c o s C$ ．

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18. 记数列{a_n}的前n项和为S_n ，对任意正整数n，有 $2 s_{n} = n a_{n}$ ，且 $a_{2} = 3$

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、对所有正整数m，若 $a_{k} < 2^{m} < a_{k + 1}$ ，则在 $a_{k}$ 和 $a_{k + 1}$ 两项中插入 $2^{m}$ ，由此得到一个新数列 ${b_{n}}$ ，求 ${b_{n}}$ 的前40项和.

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19. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - l n x - 1$ ．

(1)、设 $x = 2$ 是 $f (x)$ 的极值点．求 $a$ ，并求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、证明：当 $a \geq \frac{1}{e}$ 时， $f (x) \geq 0$ ．

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20. 红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数y（个）和平均温度x（℃）有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.

(1)、根据散点图判断， $y = b x + a$ 与 $y = c e^{d x}$ （其中 $e = 2.718$ …为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数y（个）关于平均温度x（℃）的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

(2)、由（1）的判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程.（计算结果精确到0.1）
附：回归方程中 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ， $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$
参考数据（ $z = l n y$ ）
$\sum_{i = 1}^{7} x_{i}^{2}$
$\sum_{i = 1}^{7} x_{i} y_{i}$
$\sum_{i = 1}^{7} x_{i} z_{i}$
$\bar{x}$
$\bar{y}$
$\bar{z}$
5215
17713
714
27
81.3
3.6

(3)、根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计，得到以下数据：平均气温在22℃以下的年数占60%，对柚子产量影响不大，不需要采取防虫措施；平均气温在22℃至28℃的年数占30%，柚子产量会下降20%；平均气温在28℃以上的年数占10%，柚子产量会下降50%.为了更好的防治红蜘蛛虫害，农科所研发出各种防害措施供果农选择.
在每年价格不变，无虫害的情况下，某果园年产值为200万元，根据以上数据，以得到最高收益（收益＝产值－防害费用）为目标，请为果农从以下几个方案中推荐最佳防害方案，并说明理由.
方案1：选择防害措施A，可以防止各种气温的红蜘蛛虫害不减产，费用是18万；
方案2：选择防害措施B，可以防治22℃至28℃的蜘蛛虫害，但无法防治28℃以上的红蜘蛛虫害，费用是10万；
方案3：不采取防虫害措施.

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为正方形， $P A ⊥$ 平面ABCD， $P A = A B = 2$ ， $E$ 为线段PB的中点，F为线段BC上的动点.

(1)、求证：平面 $A E F ⊥$ 平面PBC；

(2)、求平面AEF与平面PDC夹角的最小值.

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22. 设抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $(\frac{1}{2} ， 0)$ 的动直线交抛物线于不同两点 $P ， Q$ ，线段 $P Q$ 中点为 $M$ ，射线 $M F$ 与抛物线交于点 $A$ .

(1)、求点 $M$ 的轨迹方程；

(2)、求 $△ A P Q$ 面积的最小值.

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参考数据（ $z = l n y$ ）
$\sum_{i = 1}^{7} x_{i}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{7} x_{i} y_{i}$	$\sum_{i = 1}^{7} x_{i} z_{i}$	$\bar{x}$	$\bar{y}$	$\bar{z}$
5215	17713	714	27	81.3	3.6