广东省佛山市重点中学2023-2024学年高一上学期第二次教学质量检测（12月）数学试题

试卷更新日期：2023-12-28 类型：月考试卷

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一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 命题“ $\forall x \in [- 1 ， 3] ， x^{2} - 3 x + 2 < 0$ ”的否定为（）

A、 $\exists x_{0} \in [- 1 ， 3] ， x_{0}^{2} - 3 x_{0} + 2 \geq 0$ B、 $\exists x \in [- 1 ， 3] ， x^{2} - 3 x + 2 > 0$ C、 $\forall x \in [- 1 ， 3] ， x^{2} - 3 x + 2 \geq 0$ D、 $\exists x_{0} \notin [- 1 ， 3] ， x_{0}^{2} - 3 x_{0} + 2 \geq 0$

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2. 已知全集 $U = R ， A = {x | 2 < x < 6} ， B = (1 ， 4)$ ，则下图中阴影部分表示的集合为（）

A、 $\emptyset$ B、 ${x | 1 < x < 2}$ C、 ${1 ， 2}$ D、 ${x | 1 < x \leq 2}$

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3. 设 $a = 4^{0.7}$ ， $b = {(\frac{1}{4})}^{- 0.8}$ ， $c = 0 . 8^{0.7}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $b < c < a$ B、 $c < a < b$ C、 $a < b < c$ D、 $c < b < a$

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4. 已知 $a ， b ， c \in R$ ，那么下列命题正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $a^{3} > b^{3} ， a b > 0$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ C、若 $a^{2} > b^{2} ， a b > 0$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ D、若 $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$ ，则 $a > b$

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5. “不等式 $m x^{2} + x + m > 0$ 在R上恒成立”的一个必要不充分条件是（）

A、 $m > \frac{1}{2}$ B、 $0 < m < 1$ C、 $m > \frac{1}{4}$ D、 $m > 1$

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6. 函数 $f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \cdot l n | x |$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知 $f (x) = | e^{x} - 1 | + 1$ ，若函数 $g (x) = {[f (x)]}^{2} + (a - 2) f (x) - 2 a$ 有三个零点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- 2 ， - 1)$ B、 $(- 1 ， 0)$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(1 ， 2)$

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8. 已知函数 $f (x) = 2^{x} - \frac{1}{2} (x < 0)$ 与 $g (x) = l o g_{2} (x + 2 a)$ 的图象上存在关于 $y$ 轴对称的点，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - \frac{\sqrt{2}}{2})$ B、 $(- \sqrt{2} ， \frac{\sqrt{2}}{4})$ C、 $(- \infty ， \sqrt{2})$ D、 $(- \infty ， \frac{\sqrt{2}}{2})$

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二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 若函数 $f (x) = {(\frac{1}{3})}^{x^{2} + a x - 3}$ 的图像经过点 $(3 ， 1)$ ，则（）

A、 $a = - 2$ B、 $f (x)$ 在 $(- \infty ， 1)$ 上单调递减 C、 $f (x)$ 的最大值为81 D、 $f (x)$ 的最小值为 $\frac{1}{81}$

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10. 下列结论正确的是（）

A、若 $x > 0$ ，则 $y = x + \frac{1}{x}$ 的最小值为2 B、若 $a > 0 ， b > 0$ ，则 $a b \leq {(\frac{a + b}{2})}^{2}$ C、若 $a > 0 ， b > 0$ ，且 $a + 4 b = 1$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最大值为9 D、若 $x \in (0 ， 2)$ ，则 $y = x (2 - x)$ 的最大值为2

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11. 牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体初始温度是 $θ_{0}$ （单位 $℃$ ），环境温度是 $θ_{1}$ （单位： $℃$ ），其中 $θ_{0} > θ_{1}$ ，则经过 $t$ 分钟后物体的温度 $θ$ 将满足 $θ = f (t) = θ_{1} + (θ_{0} - θ_{1}) \cdot e^{- k t}$ （ $k \in R$ 且 $k > 0$ ）．现有一杯 $100 ℃$ 的热红茶置于 $10 ℃$ 的房间里，根据这一模型研究红茶冷却情况，下列结论正确的是（参考数值 $l n 2 \approx 0.7 ， l n 3 \approx 1.1$ ）（）

A、若 $f (3) = 40 ℃$ ，则 $f (6) = 20 ℃$ B、若 $k = \frac{1}{10}$ ，则红茶下降到 $55 ℃$ 所需时间大约为6分钟 C、5分钟后物体的温度是 $40 ℃$ ， k约为0.22 D、红茶温度从 $80 ℃$ 下降到 $60 ℃$ 所需的时间比从 $60 ℃$ 下降到 $40 ℃$ 所需的时间多

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12. 已知定义域为R的函数 $f (x)$ 对任意实数 $x ， y$ 都有 $f (x + y) + f (x - y) = 2 f (x) f (y)$ ，且 $f (\frac{1}{2}) = 0$ ，则以下结论正确的有（）

A、 $f (0) = - 1$ B、 $f (x)$ 是偶函数 C、 $f (x)$ 关于 $(\frac{1}{2} ， 0)$ 中心对称 D、 $f (1) + f (2) + f (3) + f (4) = 0$

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三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 计算 $1 - 3^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 + \sqrt{3}} - {(3 \frac{3}{8})}^{\frac{1}{3}} + (\sqrt{7} - \sqrt{103})^{0} =$ ．

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14. 已知 $2^{a} = 3^{b} = t$ 且 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 2$ ，则 $t =$ ．

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15. 已知 $x > 1$ ，则 $\frac{x - 1}{x^{2} - 2 x + 4}$ 的最大值为．

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16. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知曲线 $C_{1} 、 C_{2} 、 C_{3}$ 依次为 $y = 2 l o g_{2} x 、 y = l o g_{2} x 、 y = k l o g_{2} x$ （k为常数， $0 < k < 1$ ）．曲线 $C_{1}$ 上的点 $A$ 在第一象限，过 $A$ 分别作 $x$ 轴、 $y$ 轴的平行线交曲线 $C_{2}$ 分别于点 $B 、 D$ ，过点 $B$ 作 $y$ 轴的平行线交曲线 $C_{3}$ 于点 $C$ ．若四边形 $A B C D$ 为矩形，则 $k$ 的值是．

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四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 集合 $A = {x | - 6 x^{2} - x + 2 > 0} ， B = {x | x^{2} - 5 x + 6 \geq 0}$ ．

(1)、求 $A ∪ B ， (∁_{R} A) ∩ B$ ．

(2)、若集合 $C = {x | 2 m < x < 1 - m} ， C \subseteq B$ ，求 $m$ 的取值范围．

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18. 已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，且当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = x^{2} + 2 x$ ．

(1)、求出当 $x > 0$ 时， $f (x)$ 的解析式；

(2)、如图，请补出函数 $f (x)$ 的完整图象，根据图象直接写出函数 $f (x)$ 的单调递减区间；

(3)、结合函数图象，求当 $x \in [- 3 ， 1]$ 时．，函数 $f (x)$ 的值域．

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19. 对于实数 $a$ 和 $b$ ，定义运算“*”： $a * b = {\begin{array}{l} a^{2} - a b ， a \leq b \\ b^{2} - a b ， a > b \end{array}$ ，设 $f (x) = (2 x - 1) * (x - 1)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、关于 $x$ 的方程 $f (x) = m (m \in R)$ 恰有三个互不相等的实数根，求 $m$ 的取值范围．

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20. 佛山市某研学基地，因地制宜划出一片区域，打造成“生态水果特色区”，经调研发现：某水果树的单株产量 $W$ （单位：千克）与施用肥料 $x$ （単位：千克）满足如下关系： $W (x) = {\begin{array}{l} 2 (x^{2} + 17) ， 0 \leq x \leq 2 \\ 50 - \frac{8}{x - 1} ， 2 < x \leq 5 \end{array}$ ，且单株施用肥料及其它成本总投入为 $20 x + 10$ 元．已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为 $f (x)$ （单位：元）．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？

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21. 已知定义域为R的函数 $f (x) = \frac{2^{x}}{2^{x} + a} - \frac{1}{2}$ 是奇函数．

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的单调性，并用定义加以证明；

(3)、若对任意的 $x \in R$ ，不等式 $f (x^{2} - x) + f (x^{2} - m) > 0$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = l o g_{4} (4^{x} + 1) + k x$ 与 $g (x) = l o g_{4} (a \cdot 2^{x} - \frac{4}{3} a)$ ，其中 $f (x)$ 是偶函数．

(1)、求函数 $g (x)$ 的定义域；

(2)、求实数 $k$ 的值；

(3)、若函数 $F (x) = f (x) - g (x)$ 只有一个零点，求实数 $a$ 的取值范围．

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