广东省佛山市顺德区2023-2024学年高三上学期12月月考数学试题

试卷更新日期：2023-12-28 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合 $A = {x \in Z | - 1 \leq x \leq 2}$ ， $B = {x | x^{2} < 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ B、 ${0}$ C、 ${- 1 ， 0}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$

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2. 人们对数学研究的发展一直推动着数域的扩展，从正数到负数、从整数到分数、从有理数到实数等等.16世纪意大利数学家卡尔丹和邦贝利在解方程时，首先引进了 $i^{2} = - 1$ ， 17世纪法因数学家笛卡尔把i称为“虚数”，用 $a + b i (a 、 b \in R)$ 表示复数，并在直角坐标系上建立了“复平面”．若复数z满足方程 $z^{2} + 2 z + 5 = 0$ ，则 $z =$ （）

A、 $- 1 + 2 i$ B、 $- 2 - i$ C、 $- 1 \pm 2 i$ D、 $- 2 \pm i$

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3. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先成果，哥德巴赫猜想如下：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数（一个整数除了1和它本身没有其他约数的数称为素数）的和，如 $30 = 7 + 23 ， 6 = 3 + 3$ ，在不超过25的素数中，随机选取2个不同的数，则这2个数恰好含有这组数的中位数的概率是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{9}$ D、 $\frac{3}{8}$

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4. 设平面向量 $\vec{a} = (1 ， 3)$ ， $| \vec{b} | = 2$ ，且 $| \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{10}$ ，则 $(2 \vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})$ =（）

A、1 B、14 C、 $\sqrt{14}$ D、 $\sqrt{10}$

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5. $α ， β$ 是两个平面，m，n是两条直线，则下列四个选项错误的是（）

A、如果 $m ⊥ n ， m ⊥ α ， n / / β$ ，那么 $α ⊥ β$ . B、如果 $m ⊥ α ， n / / α$ ，那么 $m ⊥ n$ . C、如果 $α / / β ， m \subset α$ ，那么 $m / / β$ . D、如果 $m / / n ， α / / β$ ，那么 $m$ 与 $α$ 所成的角和 $n$ 与 $β$ 所成的角相等.

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6. 设 $α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $β \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，且 $t a n α + t a n β = \frac{1}{c o s β}$ ，则（）

A、 $2 α + β = \frac{π}{2}$ B、 $2 α - β = \frac{π}{2}$ C、 $2 β - α = \frac{π}{2}$ D、 $2 β + α = \frac{π}{2}$

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7. 已知双曲线C： $x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的焦点到渐近线的距离为 $\sqrt{2}$ ，直线l与C相交于A、B两点，若线段 $A B$ 的中点为 $N (1 ， 2)$ ，则直线l的斜率为（）

A、 $- 1$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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8. 设 $a = \frac{l n 4}{4}$ ， $b = \frac{4 - l n 4}{e^{2}}$ ， $c = \frac{\sqrt{e}}{2 e}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $c < b < a$ D、 $c < a < b$

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二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 设 $A ､ B$ 为两个互斥的事件，且 $P (A) > 0 ， P (B) > 0$ ，则（）

A、 $P (A B) = 0$ B、 $P (A B) = P (A) P (B)$ C、 $P (\bar{A} ∪ \bar{B}) = 1$ D、 $P (A ∪ B) = P (A) + P (B)$

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10. 已知函数 $f (x) = c o s^{4} x + 2 s i n x c o s x - s i n^{4} x$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $x = - \frac{5 π}{8}$ 为函数 $f (x)$ 图象的一条对称轴． B、函数 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$ 上单调递减． C、将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位，得到函数 $g (x)$ 的图象，若 $g (x)$ 在 $[0 ， m]$ 上的最小值为 $g (0)$ ，则m的最大值为 $\frac{3 π}{4}$ ． D、 $f (x)$ 在 $[0 ， a]$ 上有2个零点，则实数a的取值范围是 $[\frac{7 π}{8} ， \frac{11 π}{8}]$ ．

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11. 如图，在棱长为 $2$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $M$ 在线段 $A_{1} C_{1}$ （不包含端点）上，则下列结论正确的有（）个

A、点 $B_{1}$ 在平面 $A C D_{1}$ 的射影为 $△ A C D_{1}$ 的中心； B、直线 $B M / /$ 平面 $A C D_{1}$ ； C、异面直线 $B_{1} D$ 与 $B M$ 所成角不可能为 $\frac{π}{3}$ ； D、三棱锥 $A - C M D_{1}$ 的外接球表面积的取值范围为 $[\frac{31 π}{3} ， 12 π]$ ．

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12. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 可导，且 $f (x)$ 不恒为 $0 ， f (x + 2)$ 为奇函数， $f (2 x + 1)$ 为偶函数，则（）

A、 $y = f (x)$ 的周期为4 B、 $y = f^{'} (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称 C、 $f (2^{n}) = 0 (n \in N^{*})$ D、 $\sum_{i = 3}^{2024} f (i) = 0$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. ${(x - \frac{2}{x^{3}})}^{4}$ 的展开式中，常数项是.

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14. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第十六题的“物不知数”问题，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？现有一个相关的问题：将1到2 023这2 023个自然数中被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数为．

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15. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为F，过原点O的直线l交椭圆C于点A，B，且 $2 | F O | = | A B |$ ，若 $∠ B A F = \frac{π}{6}$ ，则椭圆C的离心率是．

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16. 在△ABC中， $A B = 4 ， A C = 3 ， ∠ B A C = 90 ° ，$ D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若 $\vec{P A} = m \vec{P B} + (\frac{3}{2} - m) \vec{P C}$ （m为常数），则CD的长度是．

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四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分期为a，b，c，已知点D在边AC上，且 $B D = A C$ ， $B D s i n A = B C s i n C$ ．

(1)、证明： $△ A B C$ 是等腰三角形；

(2)、若 $C D = \frac{1}{3} A C$ ，求 $s i n C$

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 满足 $a_{1} = 9$ ， $a_{n + 1} = 10 a_{n} + 9$ ， $b_{n} = a_{n} + 1$ .

(1)、证明： ${b_{n}}$ 是等比数列；

(2)、求数列 ${{(- 1)}^{n} \lg b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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19. 如图，已知四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的上、下底面分别是边长为2和4的正方形， $A_{1} A = 4$ ，且 $A_{1} A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，点 $P ， Q$ 分别在棱 $D D_{1}$ 、 $B C$ 上·

(1)、若P是 $D D_{1}$ 的中点，证明： $A B_{1} ⊥ P Q$ ；

(2)、若 $P Q / /$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ，且平面PQD与平面AQD的夹角的余弦值为 $\frac{4}{9}$ ，求四面体 $A D P Q$ 的体积．

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20. 设有甲､乙､丙三个不透明的箱子，每个箱中装有除颜色外都相同的5个球，其中甲箱有3个蓝球和2个黑球，乙箱有4个红球和1个白球，丙箱有2个红球和3个白球.摸球规则如下：先从甲箱中一次摸出2个球，若从甲箱中摸出的2个球颜色相同，则从乙箱中摸出1个球放入丙箱，再从丙箱中一次摸出2个球；若从甲箱中摸出的2个球颜色不同，则从丙箱中摸出1个球放入乙箱，再从乙箱中一次摸出2个球.

(1)、若最后摸出的2个球颜色不同，求这2个球是从丙箱中摸出的概率；

(2)、若摸出每个红球记2分，每个白球记1分，用随机变量 $X$ 表示最后摸出的2个球的分数之和，求 $X$ 的分布列及数学期望.

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21. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 x$ ，过点（2，0）的直线交 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，圆 $M$ 是以线段 $A B$ 为直径的圆．

(1)、证明：坐标原点 $O$ 在圆 $M$ 上；

(2)、设圆 $M$ 过点 $P$ （4， $- 2$ ），求直线与圆 $M$ 的方程．

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22. 已知函数 $f (x) = l n x - \frac{l n x + a}{e x}$ （ $e = 2.71828$ ……是自然对数底数）．

(1)、当 $a = 1$ 时，讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a > 1$ 时，证明： $f (x) > 1 - e^{a}$ ．

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